Velocità limite (fluidodinamica): differenze tra le versioni

Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
Ensahequ (discussione | contributi)
Ensahequ (discussione | contributi)
Nessun oggetto della modifica
Riga 28:
Dobbiamo dunque risolvere il sistema di tre equazioni differenziali:
 
:<math>\begin{cases}
:<math> m\ddot{x} = -k\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}}\cdot{\dot{x}},\qquad x(0)=0,\qquad \dot{x}(0)=0,\\
</math>
:<math> m\ddot{zy} = mg-k\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}}\cdot{\dot{zy}},\qquad zy(0)=0,\qquad \dot{zy}(0)=0,\\
 
:<math> m\ddot{yz} = mg-k\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}}\cdot{\dot{yz}},\qquad yz(0)=0,\qquad \dot{yz}(0)=0,\\
\end{cases}</math>
 
:<math> m\ddot{z} = mg-k\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}}\cdot{\dot{z}},\qquad z(0)=0,\qquad \dot{z}(0)=0,
</math>
 
Dalle prime due equazioni notiamo che le funzioni x(t)=0, y(t)=0 sono soluzione del problema di Cauchy, in virtù del teorema di esistenza ed unicità esse sono uniche.
Line 49 ⟶ 46:
 
Al fine di risolvere il primo integrale notiamo una certa somiglianza fra l'argomento dell'integrale e la derivata dell'arcotangente iperbolica:
 
:<math>\int \frac {d\alpha} {1 - \alpha^2} = \operatorname{arctanh}(x) + c</math>
 
Cerchiamo dunque di ricondurre l'argomento dell'integrale a questa forma.
A tal scopo raccogliamo la seguente quantità costante ottenendo: