Misura di Lebesgue: differenze tra le versioni

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== Proprietà ==
 
La misura di Lebesgue ha le seguenti proprietà:
 
#* Se ''<math>A''</math> è un [[prodotto cartesiano]] di [[intervallo (matematica)|intervalli]] della forma ''I''<sub>1</submath>I_1 \cdot ''I''<sub>2</sub>I_2 \cdot ...\dots \cdot ''I''<sub>''n''I_n</submath>, allora ''<math>A''</math> è Lebesgue-misurabile e λ<math>\lambda(''A'') =|I_1| \cdot |''I''<sub>1</sub>I_2| \cdot ...\dots \cdot |''I''<sub>''n''I_n|</submath>|., Quidove <math>|''I''I_i|</math> indica la lunghezza dell'intervallo ''I''i-esimo.
#* Se ''<math>A''</math> è l'unione disgiunta di un numero finito o [[numerabile]] di insiemi disgiunti Lebesgue-misurabili, allora ''<math>A''</math> è Lebesgue-misurabile e λ<math>\lambda(''A'')</math> è uguale alla somma (o alla [[serie]]) delle misure degli insiemi misurabili coinvolti.
#* Se ''<math>A''</math> è Lebesgue-misurabile, allora lo è anche il suo complemento.
#* λ<math>\lambda(''A'') \ge 0</math> per ogni insieme Lebesgue-misurabile ''<math>A''</math>.
#* Se ''<math>A''</math> e ''<math>B''</math> sono Lebesgue-misurabili e ''<math>A''</math> è un sottoinsieme di ''<math>B''</math>, allora λ<math>\lambda(''A'') \le λ\lambda(''B'').</math>, (Conseguenzacome diconseguenza del 2secondo, 3terzo e 4quarto punto.)
#* Unioni e intersezioni numerabili di insiemi Lebesgue-misurabili sono Lebesgue-misurabili., (Conseguenzacome diconseguenza 2del secondo e 3terzo punto.)
#* Se ''<math>A''</math> è un sottoinsieme aperto o chiuso di '''R'''<supmath>''\R^n''</supmath> (vedi [[spazio metrico]]), allora ''<math>A''</math> è Lebesgue-misurabile.
#* Se ''<math>A''</math> è un insieme Lebesgue-misurabile con λ<math>\lambda(''A'') = 0</math>, ovvero (un [[insieme di misura nulla]]), allora ogni sottoinsieme di ''<math>A''</math> è un insieme di misura nulla.
#* Se ''<math>A''</math> è Lebesgue-misurabile e ''<math>x'' è\in un elemento di '''\R'''<sup>''^n''</supmath>, allora la ''traslazione di A mediante x'', definita da ''<math>A'' + ''x'' = \{''a'' + ''x'' : ''a'' \in ''A'' \},</math> è Lebesgue-misurabile e ha la stessa misura di ''<math>A''</math>.
 
Tutte le affermazioni summenzionate possono essere riassunte in breve:
 
: Gli insiemi misurabili secondo Lebesgue formano una [[sigma-algebra|&sigma;-algebra]] contenente tutti i prodotti di intervalli, e &lambda; è l'unica [[misura (matematica)|misura]] invariante per traslazioni e completa su questa sigma-algebra con &lambda;([0, 1] &sdot; [0, 1] &sdot; ... &sdot; [0, 1]) = 1.
 
Tutte le affermazioni summenzionate possono essere riassunte dicendo che gli insiemi misurabili secondo Lebesgue formano una [[sigma-algebra|&sigma;-algebra]] contenente tutti i prodotti di intervalli, e <math>\lambda</math> è l'unica [[misura (matematica)|misura]] invariante per traslazioni e completa su questa sigma-algebra con <math>\lambda([0,1] \cdot [0,1] \cdot \dots \cdot [0,1])=1</math>. La misura secondo Lebesgue ha anche la proprietà di essere [[sigma-finita|&sigma;-finita]], ossia è possibile ricoprire tutto lo spazio con un'unione numerabile di sottoinsiemi di misura di Lebesgue finita.
 
== Insiemi di misura nulla ==