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La misura di Lebesgue ha le seguenti proprietà:
* Se <math>A</math> è un [[prodotto cartesiano]] di [[intervallo (matematica)|intervalli]] della forma <math>I_1 \cdot I_2 \cdot \dots \cdot I_n</math>, allora <math>A</math> è Lebesgue-misurabile e <math>\lambdam(A)=|I_1| \cdot |I_2| \cdot \dots \cdot |I_n|</math>, dove <math>|I_i|</math> indica la lunghezza dell'intervallo i-esimo.
* Se <math>A</math> è l'unione disgiunta di un numero finito o [[numerabile]] di insiemi disgiunti Lebesgue-misurabili, allora <math>A</math> è Lebesgue-misurabile e <math>\lambdam(A)</math> è uguale alla somma (o alla [[serie]]) delle misure degli insiemi misurabili coinvolti.
* Se <math>A</math> è Lebesgue-misurabile, allora lo è anche il suo complemento.
* <math>\lambdam(A) \ge 0</math> per ogni insieme Lebesgue-misurabile <math>A</math>.
* Se <math>A</math> e <math>B</math> sono Lebesgue-misurabili e <math>A</math> è un sottoinsieme di <math>B</math>, allora <math>\lambdam(A) \le \lambdam(B)</math>, come conseguenza del secondo, terzo e quarto punto.
* Unioni e intersezioni numerabili di insiemi Lebesgue-misurabili sono Lebesgue-misurabili, come conseguenza del secondo e terzo punto.
* Se <math>A</math> è un sottoinsieme aperto o chiuso di <math>\R^n</math> (vedi [[spazio metrico]]), allora <math>A</math> è Lebesgue-misurabile.
* Se <math>A</math> è un insieme Lebesgue-misurabile con <math>\lambdam(A)=0</math>, ovvero un [[insieme di misura nulla]], allora ogni sottoinsieme di <math>A</math> è un insieme di misura nulla.
* Se <math>A</math> è Lebesgue-misurabile e <math>x \in \R^n</math> allora la ''traslazione di A mediante x'', definita da <math>A + x = \{a + x : a \in A \}</math> è Lebesgue-misurabile e ha la stessa misura di <math>A</math>.
Tutte le affermazioni summenzionate possono essere riassunte dicendo che gli insiemi misurabili secondo Lebesgue formano una [[sigma-algebra|σ-algebra]] contenente tutti i prodotti di intervalli, e <math>\lambdam</math> è l'unica [[misura (matematica)|misura]] invariante per traslazioni e completa su questa sigma-algebra con <math>\lambdam([0,1] \cdot [0,1] \cdot \dots \cdot [0,1])=1</math>. La misura secondo Lebesgue ha anche la proprietà di essere sigma-finita, ossia è possibile ricoprire tutto lo spazio con un'unione numerabile di sottoinsiemi di misura di Lebesgue finita.
== Insiemi di misura nulla ==
Un sottoinsieme di '''R'''<supmath>''\R^n''</supmath> è un insieme di misura nulla se, per ogni ε <math>\epsilon >0,</math> può essere coperto con un insieme numerabile di prodotti di ''n'' intervalli il cui volume totale è al massimo ε<math>\epsilon</math>. Tutti gli insiemi [[numerabile|numerabili]] sono insiemi di misura nulla, così pure gli insiemi in '''R'''<supmath>''\R^n''</supmath> la cui [[dimensione]] è più piccola di ''n'', ad esempio rette o circonferenze in '''R'''<supmath>''\R^2''</supmath>.
Per mostrare che un dato insieme ''<math>A''</math> è misurabile secondo Lebesgue, in genere si cerca di trovare un insieme più "gradevole" ''<math>B''</math> che differisce da ''<math>A''</math> solo per un insieme di misura nulla (nel senso che la differenza simmetrica <math>(''A'' − ''-B'') ∪ \cup(''B'' − ''-A'')</math> è un insieme di misura nulla) e quindi mostrare che ''<math>B''</math> può essere generato usando unioni e intersezioni numerabili di insiemi aperti o chiusi.
== Costruzione della misura di Lebesgue ==
La costruzione moderna della misura di Lebesgue, basata sulle [[misura esterna|misure esterne]], è dovuta a [[Constantin Carathéodory|Carathéodory]]. Procede nel modo seguente:
Per ''ogni'' sottoinsieme ''<math>B''</math> di '''R'''<supmath>''\R^n''</supmath>, possiamosi definirepuò definire:
:<math> \lambdam^*(B) = \inf \{\operatorname{vol}(M) : M \supseteq B, \mbox{e } M \mbox{ unione numerabile di prodotti di intervalli}\}.</math>
dove <math>M</math> è l'unione numerabile di prodotti di intervalli e <math>\operatorname{vol}(''M'') </math> è la somma dei prodotti delle lunghezze degli intervalli coinvolti. Si può dimostrare che λ<math> m^*</math> è una [[misura esterna]]. Si definisce quindi l'insieme ''<math>A''</math> misurabile secondo Lebesgue se :
:<math> \lambdam^*(B) = \lambdam^*(A \cap B) + \lambdam^*(B - A) </math>
per tutti gli insiemi ''<math>B''</math>. Per il [[teorema di Carathéodory]] questi insiemi Lebesgue-misurabili formano una σ-algebra, e la misura di Lebesgue è definita da λ<math>m(''A'') = λ<sup>m^*</sup>(''A'')</math> per ogni insieme Lebesgue-misurabile ''<math>A''</math>.
Secondo il [[insieme di Vitali|teorema di Vitali]], se si ammette l'assioma della scelta, esiste un sottoinsieme dei numeri reali '''<math>\R'''</math> che non è Lebesgue-misurabile. In caso contrario non si conoscono esempi di sottoinsiemi di '''<math>\R'''</math> non Lebesgue-misurabili.
== Rapporti con le altre misure ==
La [[misura di Borel]] è in accordo con la misura di Lebesgue sugli insiemi per cui è definita; tuttavia, esistono molti più insiemi Lebesgue-misurabili che insiemi Borel-misurabili. La misura di Borel è invariante per traslazioni, ma non completa.
La [[misura di Haar]] può essere definita su ogni [[gruppo topologico|gruppo]] [[localmente compatto]] ed è una generalizzazione della misura di Lebesgue ('''R'''<supmath>''\R^n''</supmath> con l'addizione è un gruppo localmente compatto).
La misura di Hausdorff (vedi [[dimensione di Hausdorff]]) è una generalizzazione della misura di Lebesgue utile per misurare gli insiemi di '''R'''<supmath>''\R^n''</supmath> di dimensione minore di ''n'', come le [[sottovarietà]], ad esempio superfici o curve in '''R'''<supmath>\R^3</supmath> e insiemi [[frattale|frattali]].
== Note ==
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