Momento magnetico: differenze tra le versioni
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In [[fisica]], in particolare in [[elettromagnetismo]], il '''momento magnetico''' di un [[magnete]] è una grandezza che quantifica la [[forza]] che l'oggetto esercita su una [[corrente elettrica]] ed il momento torcente che il [[campo magnetico]] produce interagendo con esso. Più precisamente, il termine si riferisce al '''momento di dipolo magnetico''', che descrive il primo termine dello [[sviluppo in multipoli]] del campo magnetico, il [[dipolo magnetico]].
Ogni campo magnetico dipolare è simmetrico rispetto alle rotazioni intorno ad un determinato asse, di conseguenza è consueto descrivere il momento di dipolo magnetico che genera tale campo come un vettore con direzione lungo l'asse. Solitamente si considerano il momento magnetico relativo al moto di [[carica elettrica|cariche elettriche]] ed il momento magnetico intrinseco delle [[particelle elementari]] cariche, associato allo [[spin]]. Il contributo nel primo caso può essere ricavato conoscendo la distribuzione spaziale delle correnti (o, equivalentemente, del moto delle cariche) nel sistema, mentre nel secondo caso il vettore momento magnetico intrinseco delle particelle è un numero fissato, misurato sperimentalmente con grande precisione: quello dell'[[elettrone]] è, ad esempio, −9.284764×10<sup>−24</sup> J/T.<ref>[http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?muem NIST μ<sub>e</sub>]</ref> La direzione di tale vettore è quindi interamente determinata dalla direzione dello spin. Esiste infatti una stretta connessione tra il [[momento angolare]] e il momento magnetico, espressa dall'[[effetto Einstein-de Haas]], o "rotazione per magnetizzazione", ed il suo inverso, l'[[effetto Barnett]], o "magnetizzazione per rotazione".<ref name=Graham>{{Cita libro |titolo=Introduction to Magnetic Materials |autore=B. D. Cullity, C. D. Graham |url=http://books.google.com/books?id=ixAe4qIGEmwC&pg=PA103 |pagine=103 |id=ISBN 0471477419 |anno=2008 |editore=Wiley-IEEE |edizione=2}}</ref>
== Definizioni ==
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: (EMU CGS) 1 [[erg]]/[[Gauss|G]] = 1 [[Abampere|abA]]·cm² = 10<sup>-3</sup> ([[Metro|m]]²·[[Ampere|A]] or [[Joule|J]]/[[Tesla|T]]).
== Campo magnetico generato da un dipolo ==
In fisica classica il campo magnetico generato da un dipolo è calcolato considerando una spira percorsa da [[corrente elettrica]]. Nel limite in cui le sue dimensioni diminuiscono mantendendo costante il prodotto tra corrente ed area si ottiene il modello per il dipolo magnetico. Il [[potenziale magnetico]] della spira è dato dall'espressione:
:<math>\mathbf A = \frac {\mu_0}{4 \pi} \frac {\mathbf m \times \mathbf r}{r^3}</math>
dove <math>\mathbf m</math> è il [[Momento magnetico|momento di dipolo magnetico]] e <math>\mu_0</math> è la [[permeabilità magnetica]] del vuoto.
L'intensità del [[campo magnetico]] <math>\mathbf B</math> è data da:
: <math>\mathbf{B}({\mathbf{r}})=\nabla\times{\mathbf{A}}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\left(\frac{3\mathbf{r}(\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})}{r^{5}}-\frac{{\mathbf{m}}}{r^{3}}\right)</math>
Se si considera come modello di dipolo due cariche magnetiche opposte nel limite in cui la loro distanza e la loro carica diminuiscono in modo tale da mantenere il loro prodotto costante, in analogia con il [[dipolo elettrico]], si ottiene il [[potenziale magnetico|potenziale magnetico scalare]]:
:<math>\psi({\mathbf{r}})=\frac{{\mathbf{m}}\cdot{\mathbf{r}}}{4\pi r^{3}}</math>
da cui si ha che l'intensità di <math>\mathbf H</math> è:
:<math>{\mathbf{H}}({\mathbf{r}})=-\nabla\psi=\frac{1}{4\pi}\left(\frac{3\mathbf{r}(\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})}{r^{5}}-\frac{{\mathbf{m}}}{r^{3}}\right) = \mathbf{B}/\mu_0</math>
Il campo generato da un dipolo è modellizzabile con una spira percorsa da corrente soltanto all'esterno della regione di spazio occupata dalla sorgente. Se si vuole studiare il campo interno, supponendo di diminuire l'estensione spaziale della spira si ottiene il campo limite:
:<math>\mathbf{B}(\mathbf{x})=\frac{\mu_0}{4\pi}\left[\frac{3\mathbf{n}(\mathbf{n}\cdot \mathbf{m})-\mathbf{m}}{|\mathbf{x}|^3} + \frac{8\pi}{3}\mathbf{m}\delta(\mathbf{x})\right]</math>
dove <math>\mathbf n = \mathbf x /|\mathbf x|</math>, e l'espressione è valida all'interno del dipolo.
Se si considera il modello di dipolo che utilizza due cariche si ha:
:<math>\mathbf{H}(\mathbf{x}) =\frac{1}{4\pi}\left[\frac{3\mathbf{n}(\mathbf{n}\cdot \mathbf{m})-\mathbf{m}}{|\mathbf{x}|^3} - \frac{4\pi}{3}\mathbf{m}\delta(\mathbf{x})\right]</math>
I campi così ottenuti sono legati dalla relazione:
:<math>\mathbf{B} = \mu_0(\mathbf{H}+ \mathbf{M})</math>
dove:
:<math>\mathbf{M}(\mathbf{x}) = \mathbf{m}\delta(\mathbf{x})</math>
è il vettore di [[Polarizzazione magnetica|magnetizzazione]].
=== Interazione tra dipoli magnetici ===
[[File:Dipoledipole.svg|thumb|400px|right|FrameofRef|Sistemi di riferimento utilizzati nel calcolo della forza tra due dipoli magnetici]]
Utilizzando l'espressione del campo generato da un dipolo magnetico nell'approssimazione di trovarsi a grande distanza da esso (rispetto alle sue dimensioni), le precedenti espressioni assumono la forma:<ref>{{cite journal
| author = Schill, R. A.
| title = General relation for the vector magnetic field of a circular current loop: A closer look
| year = 2003
| journal = [[IEEE Transactions on Magnetics]]
| volume = 39
| issue = 2
| pages = 961–967
| doi = 10.1109/TMAG.2003.808597|bibcode = 2003ITM....39..961S }}</ref> Namely,
:<math bx>B_{x'}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4 \pi} m_1 \left(\frac{3\cos^2\theta-1}{r^3}\right)</math>
:<math by>B_{y'}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4 \pi} m_1 \left(\frac{3\cos\theta\sin\theta}{r^3}\right)</math>
dove <math>r</math> e <math>\theta</math> sono le coordinate locali rispetto all'origine posta in <math>\mathbf m_1</math> e orientata in modo tale da porre <math>\mathbf m_1</math> lungo l'asse ''x''. In un sistema di coordinate globale si mostra che l'espressione della forza tra due dipoli è:
:<math>F_r(\mathbf{r}, \alpha, \beta) = - \frac{3 \mu_0}{4 \pi}\frac{m_2 m_1}{r^4}\left[2\cos(\phi - \alpha)\cos(\phi - \beta)- \sin(\phi - \alpha)\sin(\phi - \beta)\right]</math>
:<math>F_{\phi}(\mathbf{r}, \alpha, \beta) =- \frac{3 \mu_0}{4 \pi}\frac{m_2 m_1}{r^4}\sin(2\phi - \alpha - \beta)</math>
In notazione vettoriale:<ref>{{cite book
|last = Furlani
|first = Edward P.
|title = Permanent Magnet and Electromechanical Devices: Materials, Analysis, and Applications
|publisher = [[Academic Press]]
|year = 2001
|page = 140
|url = http://books.google.com/?id=irsdLnC5SrsC&dq=permanent+magnet+and+electromechanical+devices&printsec=frontcover&q=3.130
|isbn = 0-12-269951-3
}}</ref>
:<math>\mathbf{F}(\mathbf{r}, \mathbf{m}_1, \mathbf{m}_2) = \dfrac{3 \mu_0}{4 \pi r^5}\left[(\mathbf{m}_1\cdot\mathbf{r})\mathbf{m}_2 + (\mathbf{m}_2\cdot\mathbf{r})\mathbf{m}_1 + (\mathbf{m}_1\cdot\mathbf{m}_2)\mathbf{r} - \dfrac{5(\mathbf{m}_1\cdot\mathbf{r})(\mathbf{m}_2\cdot\mathbf{r})}{r^2}\mathbf{r}\right]
</math>
dove <math>\mathbf r</math> è la distanza tra <math>\mathbf m_1</math> e <math>\mathbf m_2</math>, con <math>r = \| \mathbf r \|</math>, mentre <math>\mathbf F</math> è la forza agente su <math>\mathbf m_2</math>, che ha la stessa direzione e verso opposto a quella agente su <math>\mathbf m_1</math>. Il momento torcente si ottiene inoltre con la formula seguente:
:<math>\boldsymbol{\tau}=\mathbf{m}_2 \times \mathbf{B}</math>
che fornisce:
:<math>\tau = \|\boldsymbol{\tau}\|= \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{m_1 m_2}{r^3}\left[3\cos(\phi-\alpha)\sin(\phi-\beta)+\sin(\beta-\alpha)\right] </math>
oppure:
:<math>\tau = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{m_1 m_2}{r^3}\left[\sin\eta - 3 \cos\theta\, \sin\left(\eta - \theta\right)\right] </math>
in coordinate locali.
== Particelle elementari ==
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