Covarianza (probabilità): differenze tra le versioni

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== Definizione ==
La covarianza di due variabili aleatorie ''x'' e ''y'' è il [[valore atteso]] dei prodotti delle loro distanze dalla media:
:<math>\sigma(x,y)=\mathbb{E}\Big[\big(x-\mathbb{E}[x]\big)(y-\mathbb{E}[y]\big)\Big]</math>.
 
La covarianza di ''x'' e ''y'' può anche essere espressa come la differenza tra il [[valore atteso]] del loro prodotto e il prodotto dei loro valori attesi:
:<math>\sigma(x,y)=\mathbb{E}[xy]-\mathbb{E}[x]\mathbb{E}[y]\ </math>.
Infatti per la [[trasformazione lineare|linearità]] del valore atteso risulta
:<math>\mathbb{E}\Big[xy-xEx\mathbb{E}[y]-\mathbb{E}[x]y+\mathbb{E}[x]\mathbb{E}[y]\Big]=\mathbb{E}[xy]-\mathbb{E}[x]\mathbb{E}[y]-\mathbb{E}[x]\mathbb{E}[y]+\mathbb{E}[x]\mathbb{E}[y]=\mathbb{E}[xy]-\mathbb{E}[x]\mathbb{E}[y]\ </math>.
 
== Proprietà ==
 
Due variabili aleatorie [[variabili indipendenti|indipendenti]] hanno covarianza nulla, poiché dalla loro indipendenza segue
:<math>\mathbb{E}[xy]=\mathbb{E}[x]\mathbb{E}[y]\ </math>
Due variabili aleatorie che hanno covarianza nulla sono [[correlazione (statistica)|non correlate]].
 
Due variabili aleatorie dipendenti possono essere non correlate.
Ad esempio, se ''x'' è una variabile aleatoria di [[variabile casuale uniforme continua|legge uniforme]] sull'intervallo [-1,1] e ''y=x<sup>2</sup>'', allora
:<math>\textstyle \sigma(x,y)=\sigma(x,x^2)=\mathbb{E}[x^3]-\mathbb{E}[x]\mathbb{E}[x^2]=0.5\int_{-1}^1x^3dx-0.5\int_{-1}^1xdx\int_{-1}^1x^2dx=0</math>
 
=== Varianza ===
Utente anonimo