Teorema diretto dei triangoli isosceli: differenze tra le versioni
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La variante di Proclo alla dimostrazione di Euclide procede come segue:<ref>Following Proclus p. 53</ref>
sia ABC un triangolo isoscele con AB e AC i lati uguali. Si scelga un punto arbitrario D sul lato AB e si prenda il punto E su CA in modo che <math>AD \cong AE</math>. Tracciate le linee di BE, DC e DE si consideri i triangoli BAE e CAD, questi triangoli hanno <math>BA \cong AC</math>, <math>AE \cong AD</math>, e l'angolo <math>\hat{A}</math> coincidente, quindi per il criterio di congruenza lato-angolo-lato i triangoli BAE e CAD sono congruenti e pertanto i lati e gli angoli corrispondenti saranno congruenti: l'angolo <math> A \hat{B} E </math> è uguale all'angolo <math> A \hat{C} D </math>, l'angolo <math> A \hat{D} C </math> è uguale all'angolo <math> A \hat{E} B </math>, e <math>BE \cong CD</math>.
Dal momento che <math>AC \cong AB</math> e <math>AD \cong AE</math>, <math>BD \cong CE</math> per sottrazione di parti uguali. Si consideri ora i triangoli DBE e ECD; per essi <math>BD \cong CE</math>, <math>BE \cong CD</math>, e l'angolo <math> D \hat{B} E </math> è uguale all'angolo <math> E \hat{C} D </math> come è stato appena mostrato, quindi ancora per il criterio lato-angolo-lato, i triangoli sono congruenti: l'angolo <math> B \hat{D} E </math> è uguale all'angolo <math> C \hat{E} D </math>. (La congruenza implica anche <math>
===Pappo===
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