Differenze tra le versioni di "Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy"

m (+senza fonti)
Sia <math>\delta < \min \left\{a, \tfrac{1}{L}, \tfrac{b}{M} \right\}</math> con <math>M = \max \{ |f(x,y)|: (x,y) \in I \times J\}</math>. Si noti che <math>M \in \mathbb{R}</math> per il [[teorema di Weierstrass]] (poiché <math>I \times J</math> è [[spazio compatto|compatto]]). Nel caso in cui <math>M=0</math>, ovvero qualora <math>f</math> sia identicamente nulla, il sistema ammette come unica soluzione la [[funzione costante]] <math>y(x)=y_0</math>, quindi si può supporre <math>M \ne 0</math>.
 
Sia <math>I_\delta =[x_0-\delta,x_0+ \delta]</math>. Possiamo considerare lo [[spazio metrico]] <math>(X,\| \cdot \|_{C^{0}})</math> delle funzioni <math>g: I_\delta \to \R^n</math> continue con la [[norma dell'estremo superiore]], ed una [[palla (matematica)|palla]] al suo interno, definita da <math>B = \{g \in X: \|g - y_0\|_{C^{0}} \leq b\}</math>.
 
Essendo lo [[spazio (matematica)|spazio]] <math>X</math> [[Spazio completo|completo]], e <math>B \subseteq X</math> [[insieme chiuso|chiuso]], allora anche quest'ultimo risulta essere uno [[spazio completo]] rispetto alla [[metrica|metrica indotta]].
Utente anonimo