Differenze tra le versioni di "Topologia quoziente"

(→‎Proprietà: Creo le sezioni "Bibliografia" e "Voci correlate")
== Definizione ==
 
Sia ''<math>X''</math> uno [[spazio topologico]] e ~<math>\sim</math> una [[relazione di equivalenza]] su ''<math>X''</math>.
Definiamo una topologia sull'[[insieme quoziente]] ''<math>X''/~{\sim}</math> (che consiste di tutte le [[classe di equivalenza|classi di equivalenza]] di ~<math>\sim</math>) nel modo seguente:
un insieme di classi di equivalenze in ''<math>X''/~{\sim}</math> è [[insieme aperto|aperto]] se e solo se la loro unione è aperta in ''<math>X''</math>.
 
Sia ''<math>q'' : ''X'' \to ''X''/~{\sim}</math> la proiezione che manda ogni elemento di ''<math>X''</math> nella sua classe. Elenchiamo alcune definizioni equivalenti di topologia quoziente sull'insieme ''<math>X''/~{\sim}</math>:
[[File:QuotientSpace-01.svg|right|Proprietà universale della topologia quoziente]]
* Un insieme in ''<math>X''/~{\sim}</math> è aperto se e solo se lo è la sua controimmagine tramite ''<math>q''</math> in ''<math>X''</math>.
* La topologia su ''<math>X''/~{\sim}</math> è la topologia più [[Relazione di finezza|fine]] fra tutte quelle che rendono la mappa ''<math>q''</math> continua.
* La topologia su ''<math>X''/~{\sim}</math> è l'unica che soddisfi la seguente ''proprietà universale'': se ''<math>g'' : ''X'' \to ''Z''</math> è una [[funzione continua]] tale che ''<math>a''~'' \sim b''</math> implica ''<math>g''(''a'') ='' g''(''b'')</math> per ogni ''<math>a''</math> e ''<math>b''</math> in ''<math>X''</math>, allora esiste una unica funzione continua ''<math>f'' : ''X''/~{\sim} \to ''Z''</math> tale che ''<math>g'' = ''f'' <small>o\circ q</smallmath> ''q''.
 
Nell'ultima definizione, diciamo che ''<math>g''</math> ''scende al quoziente''.
 
== Esempi ==
Utente anonimo