Derivata direzionale: differenze tra le versioni

:<math>D_{\mathbf{u}}{f}(\mathbf{x}) = \lim_{h \rightarrow 0^+}{\frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{u}) - f(\mathbf{x})}{h}}</math>

dove <math>\nabla</math> al secondo membro rappresenta il [[gradiente]], e <math>\cdot</math> il [[prodotto scalare]] [[Spazio euclideo|euclideo]]. In ogni punto <math>\mathbf{x}</math>, la derivata direzionale di <math>D_{\mathbf{u}}{f}(\mathbf{x})</math> rappresenta la variazione di <math>f</math> lungo <math>\mathbf{u}</math>, a partire neldal punto <math>\mathbf{x}</math>.

Ad esempio, si consideri una funzione di due variabili <math>f: \Omega \to \mathbb{R}</math>, con <math>\Omega \subseteq \mathbb{R}^2</math> un [[insieme aperto]]. Dato un vettore unitario <math>\mathbf{u}=(u_1, u_2)</math>, la derivata direzionale rispetto adi <math>f\mathbf{u};</math> dilungo <math>f\;mathbf{u}</math>, nel punto <math>(x_0, y_0) \in \Omega</math>, è data da:

:<math>D_{\mathbf{vu}} f(x_0,y_0) = \lim_{th \to 0} \frac{f(x_0 + th u_1, y_0 + th u_2) - f(x_0,y_0)}{th}</math>