Teorema del flusso: differenze tra le versioni

Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
semplifico dimostrazione
Riga 24:
 
===Dimostrazione===
Si ponga di avere una sorgente <math>q</math> all'interno di un volume <math>V</math> delimitato dalla [[frontiera (topologia)|superficie]] <math>\partial V</math>. Il campo di forze <math>F_1\frac{\mathbf r}{r^3}</math> generato forma con l'elemento di superficie <math>\mbox{d}S</math> di <math>\partial V</math> un angolo <math>\theta</math>, sicché:
 
:<math>(\mathbf F \cdot \mathbf n ) \mbox{d}S = \frac{F_1 \cos \theta }{r^2} \mbox{d}S</math>
 
dove <math>\mathbf n</math> è il versore normale alla superficie. Dato che l'elemento di angolo solido sotteso a <math>\mbox{d}S</math> rispetto alla posizione di <math>q</math> è <math>\mbox{d}\Omega = \cos \theta \mbox{d}S /r^2</math> si ha:<ref>{{Cita|Jackson|Pag. 28|Jackson}}</ref>
 
:<math>(\mathbf F \cdot \mathbf n )\mbox{d}S = F_1 \mbox{d}\Omega</math>
 
Il [[flusso]] uscente attraverso la superficie <math>\partial V</math> [[frontieraè (topologia)|frontiera]] di <math>V</math> èquindi:
 
:<math>\Phi_{\partial V} (\mathbf F) = \int_{\partial V} (\mathbf F \cdot \mathbf n ) \mbox{d}S = F_1 \int_{\partial V} \mbox{d}\Omega</math>