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== Forma differenziale==
{{vedi anche|Teorema della divergenza}}
Il teorema della divergenza afferma che il [[flusso]] di un [[campo vettoriale]] <math>\mathbf F</math> di [[classe C di una funzione|classe]] <math>C^1</math> attraverso una [[superficie (matematica)|superficie]] chiusa <math>\partial V</math> coincide con l'integrale della [[divergenza]] del campo svolto nel volume <math>V</math> di cui la superficie è [[frontiera (topologia)|frontiera]]:<ref>{{Cita|Jackson|Pag. 29|Jackson}}</ref>
:<math>\int_V \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{F} \mbox{d}v = \int_{\partial V} (\mathbf{F} \cdot \mathbf n ) \mbox{d}S </math>
== Caso discreto ==
Le relazioni per il caso continuo in precedenza introdotte possono assumere una validità generale allorché viene introdotta la [[distribuzione ''(matematica)|distribuzione]] [[delta di Dirac '']]. Per le note proprietà di quest'ultima si ha infatti che, definita una funzione ''ρ''<math>\rho</math> come :▼Il teorema continua a valere anche se il campo è radiale intorno ad un punto diverso dall'origine: ci si riconduce al caso precedente tramite una traslazione.
:<math>\mathbf rrho = S - S_0 F_{1k}\quad \Rightarrow \quad partial(\mathbf F =F_1 \cdot \frac{Sr - S_0}{\left|mathbf S - S_0 \right|^3} \quad (S \ne \S_0r_k)</math>
Data la linerarità dell'[[integrale]], è possibile generalizzare il risultato per campi vettoriali della forma: ▼:<math>\mathbf F(r)=\sum_{k=1}^N \mathbf f_k=\sum_{k=1}^N F_1(\mathbf r_k) \frac{\mathbf r - \mathbf r_k}{\left| \mathbf r- \mathbf r_k \right|^3}</math>
cioè somma di vari campi radiali centrati in punti diversi. Il teorema di Gauss afferma in questo caso che i contributi al flusso vengono solo dalle singolarità interne alla superficie <math>\partial V</math> considerata, cioè le sorgenti del campo interne, in quanto i contributi dei campi <math>\mathbf f_k</math> esterni è nullo. In simboli: ▼
:<math>\Phi int_{V}F_{1k}\partial(\mathbf Fr - \mathbf r_k)=4\pioperatorname dv = \sum_k F_{1k} \qquad(F_{1k}=F_1(\mathbf r_k)\,)</math>
che porta esattamente al risultato del caso discreto. ▼dove nella sommatoria sono inclusi solo i coefficienti F<sub>1k</sub> relativi ai campi <math>\mathbf f_k</math> centrati in punti interni alla superficie. ▼
▲Data la linerarità dell'[[integrale]], è possibile generalizzare il risultato per campi vettoriali della forma:
== Caso continuo ==
È possibile estendere ulteriormente il teorema nel caso di una distribuzione continua di sorgenti, supponiamo contenute in un volume ''v'' dello spazio. Perché l'estensione abbia senso, <math>F_1(\mathbf r \,')</math> deve essere una funzione [[differenziabile]] in <math>\mathbb {R}^3</math>, tale che esista una funzione integrabile <math>\rho_F(\mathbf r \,')= \frac{\mbox{d} F_1}{\mbox{d} v}</math>, con <math>\mbox{d} v=\mbox{d}x'\mbox{d}y'\mbox{d}z' </math>: quest'ultima funzione introdotta rappresenta la [[densità]] della distribuzione di sorgenti. Il campo infinitesimo generato da un volume infinitesimo d''v' posizionato in ''r''<nowiki>'</nowiki> è:
:<math>\mbox{d}\mathbf F(r)=\mboxsum_{dk=1}F_1\frac{\mathbf r -^N \mathbf r f_k=\, 'sum_{k=1}{\left|^N F_1(\mathbf r-r_k) \mathbf r \, ' \right|^3}=\rho_F \mbox{d}v\frac{\mathbf r - \mathbf r \, 'r_k}{\left| \mathbf r- \mathbf r \, 'r_k \right|^3}</math>.
▲cioè somma di vari campi radiali centrati in punti diversi. Il teorema di Gauss afferma in questo caso che i contributi al flusso vengono solo dalle singolarità interne alla superficie <math>\partial V</math> considerata, cioè le sorgenti del campo interne, in quanto i contributi dei campi <math>\mathbf f_k</math> esterni è nullo . In simboli:
Come nel caso puntuale, il flusso del volume d''v' è pari a:
:<math>\mbox{d}Phi (\Phi_{\partial V}mathbf F)= 4 \pi \mboxsum_k F_{d1k}F_1 \qquad(F_{1k}=4 F_1(\pimathbf r_k)\rho_F \mbox{d}v ,)</math>
▲dove nella sommatoria sono inclusi solo i coefficienti F< submath> F_{1k }</ submath> relativi ai campi <math>\mathbf f_k</math> centrati in punti interni alla superficie.
Integrando su tutto il volume ''v'<nowiki>'</nowiki> contenuto nella superficie otteniamo:
:<math>\Phi(\mathbf F)=4 \pi \int_{\partial V} \rho_F\mbox {d}v</math>
che rappresenta l'estensione al continuo del teorema di Gauss. Notiamo che il valore del flusso dipende solo dai valori assunti da ρ<sub>F</sub> all'interno della superficie gaussiana, e non da quelli assunti all'esterno.<br>
Utilizzando il [[teorema della divergenza]] è possibile riscrivere la relazione sovrastante, di carattere integrale, in una relazione differenziale. Vale infatti:
:<math>\Phi(\mathbf F)=\oint_{\partial V} \mathbf F \cdot \mbox{d} S=\int_{V} \mathbf \nabla \cdot \mathbf F \mbox {d}v=4 \pi \int_V \rho_F\mbox {d}v</math>
cioè:
:<math>\int_V \left( \mathbf \nabla \cdot \mathbf F-4 \pi \rho_F \right) \mbox {d}v=0</math>
visto che il risultato vale qualsiasi sia ''V'', otteniamo la relazione puntuale:
:<math>\mathbf \nabla \cdot \mathbf F (\mathbf r \,')= 4 \pi \, \rho_F (\mathbf r \,')</math>.
Quest'ultima relazione è valida in ogni punto dello spazio nel quale ''ρ<sub>F</sub>'' non diverga: in sostanza, la relazione differenziale non è sfruttabile sulle cariche puntiformi. Se invece ''ρ<sub>F</sub>'' è discontinua, allora si può comunque usare negli [[insieme aperto|aperti]] creati eliminando la discontinuità stessa.
È importante notare come le due relazioni, integrale e differenziale, siano una riferita ad un volume e l'altra valida punto per punto; ciò permette due rispettivi punti di vista sul teorema di Gauss, uno riferito alle proprietà del flusso del campo e l'altra alle caratteristiche puntuali.
=== Legame tra discreto e continuo ===
▲Le relazioni per il caso continuo in precedenza introdotte possono assumere una validità generale allorché viene introdotta la distribuzione ''delta di Dirac''. Per le note proprietà di quest'ultima si ha infatti che, definita una funzione ''ρ'' come
:<math>\rho = F_{1k}\partial(\mathbf r - \mathbf r_k)</math>
:<math>\int_{V}F_{1k}\partial(\mathbf r - \mathbf r_k)\operatorname dv = \sum_k F_{1k}</math>
▲che porta esattamente al risultato del caso discreto.
== Campo gravitazionale ==
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