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Funzione inversa: differenze tra le versioni

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formalizzazione e misconcetti
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{{F|matematica|febbraio 2012}}
[[File:Inverse Function.png|thumb|<math>f^{-1}</math> mappamanda 3 in ''a'' poiché ''f'' mappamanda ''a'' in 3]]
In [[matematica]], una [[funzione (matematica)|funzione]] <math>f : X \to Y</math> si dice '''invertibile''' se esiste una funzione <math>g : Y \to X</math> tale che
:<math> g(f(x)) = x</math> per ogni <math>x \in X</math>, e
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Viceversa, se <math>f</math> è una biiezione, allora possiamo definirne un'inversa <math>g</math>, stipulando che <math>g(y)</math> sia quell'unico elemento <math>x \in X</math> tale che <math>f(x) = y</math>; infatti tale <math>x</math> esiste per la suriettività, ed è unico per l'iniettività.
 
=== Inversa destra e inversa sinistra ===
Si può raffinare quanto detto nel modo seguente:
*Una funzione <math>f:\colon X \to Y</math> èammette iniettivaun<nowiki>'</nowiki>'''inversa sedestra''' e(in soloalcuni contesti '''sezione''') se esiste una funzione <math>g:\colon Y \to X</math> tale che <math>g \circ f = id_{X}</math>;
:<math>f\circ g= id_Y</math>.
*<math>f: X \to Y</math> è suriettiva se e solo se esiste <math>h: Y \to X</math> tale che <math>f \circ h = id_{Y}</math>.
Con l'[[assioma della scelta]], una funzione ammette un'inversa destra se e solo se è suriettiva.
 
Una funzione <math>f\colon X\to Y</math> ammette un<nowiki>'</nowiki>'''inversa sinistra''' (in alcuni contesti '''retrazione''') se esiste una funzione <math>h\colon Y\to X</math> tale che
== Relazioni con la funzione di partenza ==
:<math>h\circ f= id_X</math>.
Una funzione ammette un'inversa sinistra se e solo se è iniettiva.
 
Se <math>f</math> ammette sia un'inversa destra <math>g</math> che un'inversa sinistra <math>h</math>, allora <math>f</math> è invertibile con inversa <math>f^{-1}=g=h</math>:
:<math>h=h\circ id_Y=h\circ(f\circ g)=h\circ f\circ g=(h\circ f)\circ g=id_X\circ g=g</math>.
 
== Categorie e gruppi ==
[[File:Inverse Functions Domain and Range.png|thumb]]
DallaLel definizionelinguaggio seguedelle checategorie, la funzione inversa <math>f^{-1}</math> è il [[morfismo|morfismo inverso]] di ''<math>f'' (e viceversa)</math> all'interno della [[categoria (matematica)|categoria]] ''Set'' degli insiemi. Se in particolare consideriamo solo le funzioni da un [[insieme]] a se stesso, cioè le [[endofunzione|endofunzioni]], allora <math>f^{-1}</math> è proprio l'[[elemento inverso]] di ''f'' nel senso della [[teoria dei gruppi]].
 
Nel linguaggio dei gruppi, se <math>f\colon X\to X</math> è invertibile, allora la funzione inversa <math>f^{-1}</math> è l'[[elemento inverso]] di <math>f</math> nel [[gruppo delle permutazioni]] di <math>X</math>.
 
== Proprietà ==
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Se <math>f:X\to Y</math> e <math>g:Y\to Z</math> sono invertibili, allora l'inversa della loro composizione è data da
:<math>(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}</math>
cioè si compongono le inverse a ordine invertito. Se ad esempio <math>g(x)=x+5</math> e <math>f(x)=3x</math>, allora l'inversa diInfatti
:<math>(gf^{-1}\circ fg^{-1})\circ(xg\circ f)=3x+5</math>
=f^{-1}\circ g^{-1}\circ g\circ f
è data da
:<math>( =f^{-1}\circ (g^{-1})(x)={1 \overcirc 3}(x-5g)</math>\circ f
=f^{-1}\circ id_Y\circ f
=f\circ f^{-1}
=id_X</math>
e
:<math>(g\circ f)\circ(f^{-1}\circ g^{-1})
=g\circ f\circ f^{-1}\circ g^{-1}
=g\circ(f\circ f^{-1})\circ g^{-1}
=g\circ id_Y\circ g^{-1}
=g\circ g^{-1}
=id_Z</math>
 
Ad esempio, la funzione
:<math>g\circ f\colon\begin{array}[t]{ccccc}\mathbb{R}&\stackrel{f}{\to}&\mathbb{R}&\stackrel{g}{\to}&\mathbb{R}\\x&\mapsto&3x&\mapsto&3x+5\end{array}</math>
ha come inversa la funzione
:<math>f^{-1}\circ g^{-1}\colon\begin{array}[t]{ccccc}\mathbb{R}&\stackrel{g^{-1}}{\to}&\mathbb{R}&\stackrel{f^{-1}}{\to}&\mathbb{R}\\x&\mapsto&x-5&\mapsto&\frac{1}{3}(x-5)\end{array}</math>
 
=== Involuzioni ===
Se una funzione è l'inversa di se stessa si dice che è un'[[involuzione (teoria degli insiemi)|involuzione]]. Un esempio nonè banale èil dato[[complesso dallaconiugato|coniugio funzionecomplesso]],
:<math>u:\colon\begin{array}[t]{ccc}\mathbb{C}&\to&\mathbb{C},u(\\z)=x+iy&\mapsto&\bar{z}=x-iy\end{array}</math>
dove <math>\bar{z}</math> è il [[complesso coniugato]].
 
=== Grafico ===
[[File:Inverse Function Graph.png|thumb|I grafici di <math>f</math> e <math>f^{-1}</math> sono simmetrici rispetto alla [[bisettrice]] del primo e terzo quadrante]]
Se <math>f\colon X\to Y</math> è invertibile, allora per ogni coppia <math>(x_0,y_0)\in X\times Y</math> sono equivalenti le affermazioni
Per [[funzione di variabile reale|funzioni di variabile reale]] si può anche dare una caratterizzazione geometrica dell'inversa.
* <math>(x_0,y_0)</math> appartiene al grafico di <math>f</math>, <math>\Gamma(f)=\{(x,y)\in X\times Y\mid y=f(x)\}</math>
* <math>(y_0,x_0)</math> appartiene al grafico di <math>f^{-1}</math>, <math>\Gamma(f^{-1})=\{(y,x)\in Y\times X\mid x=f^{-1}(x)\}</math>
 
Infatti ogni funzione <math>f\colon X\to Y</math> è una relazione <math>R</math> tra i due insiemi <math>X</math> e <math>Y</math>, che può essere identificata con l'insieme delle coppie che sono in relazione, <math>R=\{(x,y)\in X\times Y\mid xRy\}</math>, ovvero con il grafico della funzione. La relazione inversa è semplicemente la simmetrica, <math>ySx</math> se e solo se <math>xRy</math>; dunque
Se ''f'' è invertibile, allora i punti del tipo
:<math>yS=f^\{-1(y,x)\in Y\times X\mid ySx\}=\{(y,x)\in Y\times X\mid xRy\}</math>.
 
(cioè il [[grafico di una funzione|grafico]] dell'inversa) sono gli stessi che soddisfano la condizione
In particolare, per [[funzione di variabile reale|funzioni di variabile reale]], il [[grafico di una funzione|grafico]] della funzione inversa <math>f^{-1}</math> è [[riflessione (geometria)|simmetrico]] del grafico di <math>f</math> rispetto alla "diagonale" <math>y=x</math> ovvero la retta bisettrice del primo e del terzo quadrante.
:<math>x=f(y)</math>
Questa è identica alla condizione ''y=f(x)'' che definisce il grafico di ''f'', eccetto che i ruoli di ''x'' e ''y'' sono invertiti. Questo vuol dire che il grafico di <math>f^{-1}</math> si ottiene scambiando la posizione dei due assi o, equivalentemente, [[riflessione (geometria)|riflettendo]] il grafico di ''f'' attraverso la retta ''y=x''.
 
=== Derivata ===
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== Formula per l'inversa ==
Se una funzione è espressa come [[composizione di funzioni|composizione]] di funzioni invertibili, allora la sua inversa può essere ricavata come descritto nel [[#composizione di funzioni|relativo]] paragrafo.
Un metodo per determinare la formula per <math>f^{-1}</math>, qualora esista, è cercare di risolvere l'equazione <math> y = f(x) </math> in <math>x</math>. Per esempio, data la funzione:
 
In particolare, si può ottenere rapidamente un'espressione esplicita per la funzione inversa ricordando che <math>y=f(x)</math> è equivalente a <math>x=f^{-1}(y)</math>. Dunque è sufficiente esprimere <math>x</math> in funzione di <math>y</math>
:<math>f(x) = (2x + 8)^3 </math>
 
è necessario risolvere l'equazione <math>y = (2x + 8)^3</math> in <math>x</math>:
 
Per esempio, l'inversa della funzione
:<math>f\colon\begin{array}[t]{ccc}\mathbb{R}&\to&\mathbb{R}\\x&\mapsto&(2x+8)^3\end{array}</math>
può essere determinata esplicitamente ricavando
:<math>\begin{align}
y & = (2x+8)^3 \\
\sqrt[3]{y} & = 2x + 8 \\
\sqrt[3]{y} - 8 & = 2x \\
\dfracfrac{1}{2}(\sqrt[3]{y} - 8}{2}) & = x .
\end{align}</math>
Quindi
:<math>f^{-1}\colon\begin{array}[t]{ccc}\mathbb{R}&\to&\mathbb{R}\\y&\mapsto&\frac{1}{2}\sqrt[3]{y-8}\end{array}</math>
 
In ogni caso è necessario definire una funzione inversa: la sottrazione, la divisione e l'estrazione di radice applicate ell'esempio precedente sono definite come le funzioni inverse rispettivamente della somma, della moltiplicazione e dell'elevamento a potenza. Se una funzione invertibile non è esprimibile come composizione di funzioni delle quali sono già state definite le funzioni inverse, allora la funzione inversa non potrà essere espressa come composizione di inverse note e dovrà essere definita ''ex-novo''.
Quindi la funzione inversa <math>f^{-1}</math> è data dalla formula:
 
Ad esempio, la funzione
:<math>f^{-1}(y) = \dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} . </math>
:<math>f\colon\begin{array}[t]{ccc}[-1,\infty[&\to&[-e^{-1},\infty[\\x&\mapsto&xe^x\end{array}</math>
 
ha un'inversa definita appositamente: il [[funzione W di Lambert|logaritmo prodotto]].
Non sempre questo metodo darà un risultato positivo: se la funzione ''f'' è [[funzione trascendente|trascendente]] (ad esempio <math>f(x)=\log x +x</math>), generalmente è impossibile ricavare una formula chiusa per <math>x</math>.
 
== Funzione inversa parziale ==
[[File:Inverse Square Graph.png|thumb|IlLa ramofunzione principale dell'inversa del 'quadrato'', èdai perreali convenzioneai la funzione [[radice quadrata]]reali, anchenon seè l'inversainvertibile. non si esplicitaLa insua <math>y</math>restrizione, bensìdai inreali <math>x</math>.positivi Laai figurareali risultapositivi, quindiè erratainvertibile perchécon l'inversa di unala funzione si''[[radice disegnaquadrata]]''. comeNell'immagine lai funzionegrafici stessa;delle infunzioni questosono casostati l'inversaentrambi sarebbeimmersi <math>nell'intero x=\sqrtpiano y:\R^+ \to \R^+</math>cartesiano.]]
Ogni funzione può essere "resa" biiettiva, quindi invertibile, restringendo il suo dominio e il suo codominio, ovvero sostituendo ad essa una nuova funzione con dominio e codominio "più piccoli" e che mantiene una parte delle associazioni.
Abbiamo visto negli esempi sopra come molte funzioni, anche significative, non siano invertibili. Per ovviare a questo inconveniente si è giunti a definire delle versioni "indebolite" della funzione inversa, dette '''inverse parziali''', a seconda della condizione che manca, cioè l'iniettività o la suriettività:
Ad esempio, è sempre possibile restringere il dominio ad un singolo elemento <math>x</math> ed il codominio al singolo elemento <math>y=f(x)</math>: la funzione così definita,
:<math>\tilde{f}\colon\begin{array}[t]{ccc}\{x\}&\to&\{y\}\\x&\mapsto&y\end{array}</math>
è invertibile:
:<math>\tilde{f}^{-1}\colon\begin{array}[t]{ccc}\{y\}&\to&\{x\}\\y&\mapsto&x\end{array}</math>.
 
Con questo procedimento si ottiene una funzione diversa da quella di partenza, e le sua funzione inversa non è funzione inversa della funzione originale. Poiché su alcuni elementi si comporta come una funzione inversa, viene considerata una '''inversa parziale'''.
*Se una funzione non è suriettiva ma è iniettiva (come ad esempio l'[[arcotangente]]) il problema è semplice da risolvere: "rimpicciolendo" il codominio della funzione esattamente alla sua immagine arriviamo ad una funzione <math>f^*:X\to f(X)</math> che è iniettiva per ipotesi e suriettiva per costruzione, dunque invertibile per le considerazioni fatte prima. Funzioni di questo tipo sono generalmente considerate invertibili e la loro inversa è ritenuta semplicemente l'inversa della ''f*''.
 
=== Iniettività ===
'''Nota''': Così facendo formalmente siamo passati ad esaminare un'altra funzione: infatti il codominio è parte integrante della definizione di una funzione e <math>arctg:\R\to\R</math> è ''in teoria'' una funzione distinta da <math>arctg:\R\to (-\pi/2,\pi/2)</math>
Ogni funzione può essere "resa" iniettiva restringendo il suo dominio: se nel dominio sono presenti due elementi <math>x_1\neq x_2</math> tali che <math>f(x_1)=f(x_2)</math>, allora la funzione non può essere iniettiva. "Togliendo" <math>x_1</math> o <math>x_2</math> dal dominio, quest'ostacolo viene eliminato.
 
Ad esempio, la funzione
*Se una funzione non è iniettiva si può [[restrizione di una funzione|restringere]] questa volta il dominio fino a considerare un sottodominio in cui essa è iniettiva e invertire questa restrizione (comportandosi come nel caso sopra se essa non è suriettiva): così ci si comporta ad esempio per le [[funzioni trigonometriche]], che, essendo [[funzione periodica|periodiche]], non sono iniettive, ma la cui inversione è in molti casi importante nelle applicazioni.
:<math>f\colon\begin{array}[t]{ccc}\mathbb{R}&\to&\mathbb{R}\\x&\mapsto&x^2\end{array}</math>
non è iniettiva, ma la funzione
:<math>\tilde{f}\colon\begin{array}[t]{ccc}\mathbb{R}^+&\to&\mathbb{R}\\x&\mapsto&x^2\end{array}</math>
è iniettiva.
 
Non esiste un'unica restrizione del dominio che renda iniettiva la funzione: per ogni coppia di elementi <math>x_1\neq x_2</math> tali che <math>f(x_1)=f(x_2)</math>, si può scegliere di escludere dal dominio <math>x_1</math>, o <math>x_2</math>, o entrambi.
In questi casi si pone il problema di quale sottodominio utilizzare, quale sia il più significativo per un utilizzo successivo: ad esempio, nell'invertire il [[seno (matematica)|seno]], si pone per convenzione che il sottodominio di inversione sia <math>[-\pi/2, \pi/2]</math>, in cui il seno cresce in modo strettamente [[funzione monotona|monotono]] (e dunque iniettivo) da -1 a 1.
 
Nell'esempio indicato, si ottengono funzioni iniettive anche prendendo come dominio <math>\mathbb{R}^-</math>, o <math>[-1,0]\cup[2,3]</math>.
L'inversa scelta (infatti ugualmente avremmo potuto invertire il seno negli intervalli <math>[\pi/2, 3\pi/2]</math>, <math>[2\pi, 2\pi+\pi/2]</math>, eccetera) viene detto '''ramo principale''' della funzione inversa del seno e il suo valore in un punto ''y'' è detto '''valore principale''' di <math>f^{-1}(y)</math>.
 
Nel caso di funzioni reali continue, dove sia possibile applicare una nozione di continuità e di separazione, si usa scegliere come dominio un intervallo massimale e parlare di ''rami'' della funzione, e viene convenzionalemnte scelto un '''ramo principale'''.
== Funzione inversa generalizzata ==
Per una funzione arbitraria abbiamo visto che può non essere possibile definire un'inversa. È sempre valido, però, identificare la [[controimmagine]] di ogni [[singoletto]]
:<math>f^{-1}(\{y\})=\{x \in X: f(x)=y\}</math>
 
=== Suriettività ===
Per questo motivo per ogni funzione possiamo definire la '''funzione inversa generalizzata''' come la mappa
Ogni funzione può essere "resa" suriettiva restringendo il suo codominio: se nel codominio è presente un elemento <math>y</math> che non è immagine di alcun elemento del dominio, allora la funzione non può essere suriettiva. "Togliendo" <math>y</math> dal codominio, quest'ostacolo viene eliminato.
:<math>f^{-1}:Y\to \mathcal{P}(X)</math>
 
che ad ogni ''y'' del codominio associa il ''[[sottoinsieme]]'' del dominio dato dagli elementi che danno come immagine ''y'' (<math>\mathcal{P}(X)</math> è l'[[insieme delle parti]] di ''X''). Una tale applicazione ''non'' è in generale, appunto, una funzione da ''Y'' a ''X'', poiché ha come valori d'arrivo insiemi e non elementi di ''X'': si dice che essa è una "[[multifunzione]]" o "funzione multivoca". Nel caso in cui ''f'' sia invertibile essa coincide con la funzione inversa enunciata prima (ponendo l'assunzione di identificare il singoletto <math>\{x\}</math> con l'elemento ''x'').
Ad esempio, la funzione
:<math>f\colon\begin{array}[t]{ccc}\mathbb{R}&\to&\mathbb{R}\\x&\mapsto&x^2\end{array}</math>
non è suriettiva, ma la funzione
:<math>\tilde{f}\colon\begin{array}[t]{ccc}\mathbb{R}&\to&\mathbb{R}^+\\x&\mapsto&x^2\end{array}</math>
è suriettiva.
 
Non esiste un'unica restrizione del codominio che renda suriettiva la funzione, ma esiste un'unica restrizione massimale, che contiene tutte le altre: l'[[immagine (matematica)|immagine]], ovvero l'insieme di tutte le immagini degli elementi del dominio,
:<math>\text{Im}(f)=f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}</math>.
 
=== Biiettività ===
Combinando i due metodi indicati, ovvero restringendo tanto il dominio quanto il codominio di una funzione, questa può essere resa sia iniettiva che suriettiva, ovvero biiettiva (e di conseguenza invertibile).
 
Ad esempio, la funzione
:<math>f\colon\begin{array}[t]{ccc}\mathbb{R}&\to&\mathbb{R}\\x&\mapsto&x^2\end{array}</math>
non è invertibile, ma la funzione
:<math>\tilde{f}\colon\begin{array}[t]{ccc}\mathbb{R}^+&\to&\mathbb{R}^+\\x&\mapsto&x^2\end{array}</math>
è invertibile.
 
== Funzione inversa generalizzata ==
Non tutte le funzioni sono invertibili, ma ad ogni elemento del codominio può essere associata la sua [[controimmagine]] (o ''fibra''), indicata talvolta con [[abuso di notazione]]
:<math>f^{-1}(y)=f^{-1}(\{y\})=\{x \in X\mid f(x)=y\}</math>
 
Quest'associazione definisce una funzione, detta '''funzione inversa generalizzata''', tra il codominio e l'[[insieme delle parti]] del dominio
== Inversa destra e sinistra ==
:<math>f^{-1}\colon\begin{array}[t]{ccc}Y&\to&\mathcal{P}(X)\\y&\mapsto&\{x\in X\mid f(x)=y\}\end{array}</math>
Una funzione <math>f:X\to Y</math> si dice possedere '''inversa destra''' se esiste una funzione <math>g:Y \to X</math> tale che
:<math>f\circ g=id_Y</math>
''g'' si dice anche '''sezione''' di ''f''. Assumendo l'[[assioma di scelta]], ''f'' possiede inversa destra se e solo se è suriettiva.
 
== Inversa come relazione ==
<math>h:Y \to X</math> è invece '''inversa sinistra''' (o '''retrazione''') di ''f'' se
Ogni funzione è una [[relazione (matematica)|relazione]] tra due insiemi, ed è invertibile nel senso delle relazioni: <math>xRy</math> se e solo se <math>ySx</math>.
:<math>h\circ f=id_X</math>
''f'' possiede inversa sinistra se e solo se è iniettiva.
 
La relazione inversa non è una funzione, se la funzione di partenza non è invertibile.
Se una funzione è sia inversa sinistra che destra essa è unica (ed è la funzione inversa di ''f''). Notare che se ''g'' è l'inversa sinistra di ''f'', ''f'' potrebbe non essere l'inversa destra di ''g'' e viceversa.
Se però la funzione di partenza è suriettiva, allora per ogni elemento <math>y\in Y</math> del codominio esiste almeno un elemento del dominio <math>x\in X</math> tale che <math>y=f(x)</math>, ovvero <math>x=f^{-1}(y)</math>. Questo elemento non è necessariamente unico, se <math>f</math> non è iniettiva. In questo caso <math>f^{-1}</math> non è una funzione (non è ''univoca''), ma è una ''funzione multivoca'', o ''[[multifunzione]]''.
 
== Voci correlate ==
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_inversa"