Sviluppo in multipoli: differenze tra le versioni
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dove ogni <math>n^i</math> è un [[versore]] nella direzione data dagli angoli <math>\theta</math> e <math>\phi</math>, mentre gli indici sono sommati secondo la [[Notazione di Einstein|convenzione di Einstein]]. Il termine <math>C</math> è il monopolo, <math>C_i</math> è un insieme di tre numeri che descrive il dipolo, e così via.
Nel caso si considerino funzioni in tre dimensioni in una regione distante dall'origine degli assi, i coefficienti dell'espansione in multipoli possono essere scritti in funzione della distanza <math>r</math> dall'orgine, solitamente attraverso la [[serie di Laurent]] delle potenze di <math>r</math>.
:<math>V(r,\theta,\phi) = \sum_{l=0}^\infty\, \sum_{m=-l}^{l}\, C^m_l(r)\, Y^m_l(\theta,\phi)= \sum_{j=1}^\infty\, \sum_{l=0}^\infty\, \sum_{m=-l}^{l}\, \frac{D^m_{l,j}}{r^j}\, Y^m_l(\theta,\phi)
===Sviluppo in coordinate cartesiane===
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allora l'espansione può essere scritta attraverso le componenti di un [[tensore]] del secondo ordine a traccia nulla:
:<math>
\sum_{\alpha=x,y,z}\sum_{\beta=x,y,z} r_\alpha r_\beta v_{\alpha\beta}(\mathbf{R})
= \frac{1}{3} \sum_{\alpha=x,y,z}\sum_{\beta=x,y,z} (3r_\alpha r_\beta - \delta_{\alpha\beta} r^2) v_{\alpha\beta}(\mathbf{R})
dove <math>\delta_{\alpha\beta}</math> è la [[delta di Kronecker]] mentre <math>r^2</math> è il quadrato del modulo.
In [[interazione elettromagnetica|elettromagnetismo]] si considera frequentemente la particolare espressione:
:<math>
v(\mathbf{r}- \mathbf{R}) \equiv \frac{1}{|\mathbf{r}- \mathbf{R}|}
Differenziando si ottiene:
:<math>
v(\mathbf{R}) = \frac{1}{R} \qquad v_\alpha(\mathbf{R})= -\frac{R_\alpha}{R^3}\qquad v_{\alpha\beta}(\mathbf{R}) = \frac{3R_\alpha R_\beta- \delta_{\alpha\beta}R^2}{R^5}
Si definiscono quindi i termini rispettivamente di [[monopolo elettrico]], [[dipolo elettrico]] e [[Momento di quadrupolo elettrico|quadrupolo elettrico]] (che ha [[Traccia (matrice)|traccia]] nulla):
:<math>
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</math>
:<math>
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