Curva piana: differenze tra le versioni

In [[matematica]] una '''curva piana''' è una [[curva (matematica)|curva]] che giace interamente in un (unico) piano ed è identificabile da una [[funzione continua]] <math>\alpha: I \longrightarrow \R^2</math>, dove <math>I</math> è un [[intervallo (matematica)|intervallo]] nell'insieme dei [[numeri reali]]. Ad esempio, una curva su uno [[spazio euclideo]] di dimensione maggiore di 2 è piana se il suo supporto giace su un piano contenuto nello spazio euclideo in cui è definita.

Le curve piane sono oggetti geometrici ampiamente studiati, fin dall'antichità, percon obiettivi non solo matematici,di ma anche meccanici, astronomici, architettonici, ornamentali, mistici, scaramantici, ...tipo matematico. La collezione delle curve che sono state studiate in termini matematici è molto varia e complessa, e conviene rilevare subito alcune distinzioni.

Una curva piana si dice '''semplice''' se non si autointerseca, ovvero se per ogni <math>t_1 \ne t_2 \in I </math> si ha <math>\alpha(t_1) \ne \alpha(t_2)</math>. In caso contrario si dice dotata di punti doppi, tripli, e così via.

Un'altra evidente distinzione riguarda il fatto che una curva piana sia '''limitata''', cioè abbia come supporto un insieme limitato di punti di <math>\R^2</math>, oppure sia '''illimitata'''. Curve piane limitate sono le [[ellisse|ellissi]] e le lemniscate, mentre sono illimitate le [[iperbole|iperboli]] e le [[spirale|spirali]].

tale che ad ogni punto ''<math>x''</math> corrisponde un punto ''<math>y''</math>, e in modo che ogni punto del piano ''xy'': <math>(''x'',''y'')</math> del piano rappresenti il supporto della curva. Una curva di questo tipo si dice anche grafico in riferimento al grafico delle funzioni reali;. inIn effetti la rappresentazione si può anche scrivere come:

dove :<math>\alpha(t) = (\inphi(t), I\psi(t))</math> si chiama '''parametro'''.

dove <math>t \in I</math> si chiama ''parametro''. La condizione di continuità non basta per rappresentare e studiare le curve intese come oggetti filiformi ad una dimensione con le caratteristiche di regolarità volute. La condizione aggiuntiva è che la curva piana sia [[Differenziabilità|differenziabile]] entro ''<math>I''</math>.

Una curva piana parametrica <math>\alpha (t) = (\phi (t), \psi (t))</math> si dice differenziabile in ogni punto se le funzioni <math>\phi (t)</math> e <math>\psi (t)</math> hanno derivate continue in ogni punto. Una curva piana differenziabile si dice ''regolare'' in un punto <math>t_0</math> se <math>\alpha'(t_0) = (\phi'(t_0), \psi'(t_0)) \ne (0,0)</math> e regolare in I se <math>\alpha'(t) \ne (0,0)</math> in ogni punto di I. Un punto in cui si abbia <math>\alpha'(t_0) = (0,0)</math> si dice che è un punto ''singolare'' per la curva.

La regolarità della curva permette di definire la ''retta tangente'' alla curva. Sia <math>\alpha (t)</math> una curva differenziabile e <math>P_0 = \alpha(t_0)</math> un punto regolare. Si può definire la retta tangente alla curva in quel punto come la retta passante per <math>P_0</math> parallela al [[Vettore (matematica)|vettore]] <math>\alpha'(t_0) =(\phi'(t_0),\psi'(t_0))</math>.

:<math>f'(x_0) \cdot (x-x_0) - (y-y_0) = 0</math>;

:<math>F_{x} \cdot (x-x_0) + F_{y}(y-y_0) = 0 </math>.

:<math>f'(x_0) \cdot (y-y_0) + (x-x_0) = 0</math>;

:<math>F_{y} \cdot (x-x_0) - F_{x} \cdot (y-y_0) = 0</math>.

:<math>\cos \theta = \pm \frac {\phi'(t)}{\sqrt{\phi'(t)^2 + \psi'(t)^2}} \qquad \sin \theta = \pm \frac {\psi'(t)}{\sqrt{\phi'(t)^2 + \psi'(t)^2}}</math>

:<math>\beta = \alpha \circ t : S \longrightarrow \R^2,</math>

:ValeSi ilmostra seguente teorema:che se <math>\beta = \alpha \circ t</math> è una riparametrizzazione di <math>\alpha </math> tramite <math>t=t(s)</math> allora:

:<math>\frac {d\phi(t(s))}{ds} = \frac {d\phi}{dt} \cdot \frac {dt}{ds} \qquad \frac {d\psi(t(s))}{ds} = \frac {d\psi}{dt} \cdot \frac {dt}{ds}</math>

:e così si ottieneha:

:<math>\mbox{Lungh}(\alpha) = \int_{a}^{b} \| \alpha'(t) \| dt = \int_{a}^{b} \sqrt{\phi'(t)^2 + \psi'(t)^2} \cdot dt.</math>

:<math>\mbox{Lungh}(\alpha) = \mbox{Lung}(\beta) = \int_{a}^{b} \| \alpha'(t) \| dt = \int_{a}^{b} \| \beta'(s) \| ds</math>.

:<math>\mbox{Lungh} = \int_{c}^{d} \sqrt{\phi'(\theta)^2 + \psi'(\theta)^2} \cdot d\theta = \int_{c}^{d} \sqrt{r(\theta)^2 + r'(\theta)^2} d\theta = \int_{c}^{d} \sqrt{r(\theta)^2 + \left(\frac {dy}{dx} \right)^2} \cdot d\theta.</math>

Si definisce '''ascissa curvilinea''' oppure '''parametro lunghezza arco''' la riparametrizzazione particolare ottenuta fissando l'estremo inferiore di integrazione '''<math>a'''</math> in modo che l'integrale:

dipenda solo dall'estremo superiore '''<math>t'''</math> inteso come variabile. Questa funzione è la lunghezza dell'arco di curva a partire da un punto fisso '''<math>a'''</math> e può avere segno. Si può sempre riparametrizzare la curva nell'ascissa curvilinea. In tal modo se si vuole calcolare la retta tangente in un punto, si sa che essa è parallela ad un vettore tangente unitario, cioè ad un versore. Si dimostra che si può sempre riparametrizzare una curva tramite l'ascissa curvilinea nel modo seguente:

dato che <math>s'(t) = \| \alpha'(t) \| > 0</math> allora si può invertire ''<math>s''(''t'')</math> e se la sua inversa è ''<math>t'' = ''t''(''s'')</math> allora si ha la riparametrizzazione ascissa curvilinea data da:

:<math> \beta (s) = \alpha (t(s)) </math>.

:<math>\| \beta'(s) \| = | \frac {dt}{ds} | \cdot \| \alpha'(t) \| = \frac {1}{|s'(t)|} \| \alpha'(t) \| = \frac {\| \alpha'(t) \|}{\| \alpha'(t) \|} = 1</math>.

Sia <math>\beta(s)</math> una curva parametrizzata secondo l'ascissa curvilinea e <math>\beta'(s)</math> il suo versore tangente. Si considera la funzione <math>k(s) : S \longrightarrow \R</math> che associa ad ogni <math>s \in S</math> il valore <math>k(s) = \| \beta'(s) \|</math>. La funzione <math>k(s) \ge 0</math> è dettala '''[[curvatura]]''' della curva.

:<math>k = \frac{f''(x)}{ \left(1 + f'^{2} \right)^{3/2}} </math>;

:<math>k = \frac{F_{y}^{2} \cdot F_{xx} - 2 F_{x} \cdot F_{y} \cdot F_{xy} + F_{x}^{2} \cdot F_{yy}}{\left(F_{x}^{2} + F_{y}^{2} \right)^{3/2}} </math>.

:<math>T(s) = \beta'(s) = (\phi'(s), \psi'(s)).</math>

:<math>N(s) = i \cdot T(s) = (- \psi'(s), \phi'(s)),</math>

dove '''i'''<math>I</math> è l''''unità immaginaria'''. Sfruttando la definizione di curvatura si può dare un'altra forma al versore normale:

:<math>N(s) = \frac {T'(s)}{\| T'(s) \|} = \frac {T'(s)}{k(s)}.v</math>

Si dimostra che il vettore <math>T'</math> è ortogonale a ''<math>T''</math> e quindi parallelo ad ''<math>N''</math>.

In definitiva le '''[[formule di Frenet''']] e la '''[[curvatura''']] per una curva piana con parametrizzazione qualsiasi <math>\alpha(t) = (\phi(t),\psi(t))</math> sono:

:<math>T(t) = \frac {\alpha'(t)}{\| \alpha'(t) \|} \qquad N(t) = \frac {i \cdot \alpha'(t)}{\| \alpha'(t) \|} \qquad k(t) = \frac {\alpha''(t) \cdot (i \alpha'(t))}{\| \alpha'(t) \|^3}</math>

|titolo= '''[[Le curve celebri]]''': Invito alla storia della matematica attraverso le curve piane più affascinanti