Relazione (matematica): differenze tra le versioni

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{{C|Termini colloquiali come "si intende, grosso modo," ; termini poco comprensibili e non so se corretti come " sono distinte primariamente secondo la loro arietà", ecc.|matematica|aprile 2012}}
In [[matematica]] una '''relazione''' un collegamento tra elementi di diversi insiemi, più precisamente un [[sottoinsieme]] del [[prodotto cartesiano]] di due o più [[insieme|insiemi]].
In [[matematica]] e in [[informatica]], soprattutto per quello che riguarda i [[database]], per '''relazione''' si intende, grosso modo, un collegamento che sussiste tra un determinato numero di oggetti appartenenti a determinati insiemi. Come esempio di relazione si potrebbero considerare enunciati come "5 < 6" e "z=x+y". Si osserva che la prima di queste scritture concerne due oggetti specifici, i numeri 5 e 6, e un enunciato che li riguarda, mentre il secondo riguarda un insieme di situazioni concernenti quantità numeriche. Formalmente conviene dare una definizione che riguarda un insieme di sequenze e trattare le particolari situazioni come elementi del suddetto insieme.
 
Un esempio di relazione è l'usuale [[relazione d'ordine]] ''maggiore'' sui numeri reali.
== Tipologia ==
Possiamo quindi definire tre significati del termine relazione in ambito matematico-scientifico:
* '''relazione matematica''' secondo la [[teoria degli insiemi]]
* '''relazione''' sulla base del [[modello relazionale]] del database
* '''relazione''' come traduzione di relationship come costrutto del [[Modello E-R|modello entità-relazione]]
 
== DefinizioniDefinizione ==
=== Relazione tra due insiemi ===
Una relazione tra due insiemi <math>A</math> e <math>B</math> (o [[relazione binaria]]) è un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano, <math>R\subset A\times B</math>.
 
Si utilizzano in maniera equivalente le notazioni
Consideriamo un intero positivo ''n'' e la sequenza costituita dagli ''n'' insiemi ''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub> considerati nell'ordine.
:<math>R(x_1,x_2a,b)\dotsb)in R</math>
:<math>R(a,b)</math>
:<math>aRb</math>
e quando sono verificate si dice che <math>a</math> è in relazione con <math>b</math> (secondo la relazione <math>R</math>).
 
=== Relazione tra più di due insiemi ===
Si dice '''relazione n-aria''' relativa alla suddetta sequenza di insiemi '''ogni sottoinsieme del relativo [[prodotto cartesiano]]''':
Una relazione tra ''n'' insiemi <math>S_1,\ldots,S_n</math> è un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano <math>S_1\times\ldots\times S_n</math>, ovvero un insieme di [[ennupla|''n''-uple]] <math>(s_1,\ldots,s_n)</math>. È anche detta ''relazione ''n''-aria'' (in casi specifici anche ternaria, quaternaria, eccetera).
Si utilizzano in maniera equivalente le notazioni
:<math>(s_1,\ldots,s_n)\in R</math>
:<math>R(s_1,\ldots,s_n)</math>
 
Più in generale, una relazione su una famiglia di insiemi <math>\mathcal{F}=\{S_i\}i\in I</math> è un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano <math>\prod_{i\in I}S_i</math>.
<math> R \subseteq X_1 \times X_2 \times ... \times X_n </math>
 
Formalmente è possibile definire una relazione su un solo insieme <math>A</math> (anche detta una ''relazione unaria'' o [[proprietà (matematica)|proprietà]]):
Per '''[[arietà]]''' di una relazione come la precedente si intende l'intero ''n''.
:<math>R=\{a\in A\mid R(a)\}</math>
L'insieme <math>R</math> è (banalmente) l'insieme degli elementi che godono della proprietà di appartenere ad <math>R</math>.
 
== Esempi ==
Per '''predicato n-ario''' si intende una funzione di [[tabelle di verità|verità]] di n variabili.
* L'ordine stretto ''maggiore'' sui numeri reali mette in relazione coppie di numeri reali
:<math>R=\{(a,b)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}\mid a>b\}</math>
ovvero <math>a\in\mathbb{R}</math> è in relazione ''maggiore'' con <math>b\in\mathbb{R}</math> quando <math>a>b</math> (cioè <math>aRb</math>).
* Sui numeri naturali, la differenza <math>a-b=c</math> mette in relazione triple <math>(a,b,c)</math> secondo
:<math>R=\{(a,b,c)\in\mathbb{N}^3\mid a-b=c\}</math>
* Ogni funzione <math>f\colon A\to B</math> è una relazione
:<math>R_f=\{(a,b)\in A\times B\mid f(a)=b\}</math>
e può essere identificata con il [[grafico di una funzione|suo grafico]].
* Su numeri reali la ''positività'' (<math>x\geqslant0</math>) è una relazione:
:<math>R=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geqslant 0\}</math>
* Una [[relazione di equivalenza]] è una relazione.
 
== Applicazioni ==
Dato che una relazione n-aria come la precedente individua univocamente il predicato n-ario che assume il valore vero per ogni
=== Informatica ===
:<math>\langle x_1, x_2, ...,x_n\rangle \in R</math>
Le "relazioni" che vengono utilizzate nelle [[basi di dati]] sono davvero delle relazioni:
e viceversa, la relazione e il predicato sono spesso identificate.
* nel [[modello E-R|modello entità-relazioni]] le ''relazioni'' sono relazioni tra gli insiemi ''entità''
 
* nel [[modello relazionale]] le ''relazioni'' sono relazioni tra gli insiemi ''domini''; la rappresentazione tabulare delle ''t-uple'' è la [[Insieme#Descrizioni di insiemi|rappresentazione per elencazione]] delle [[n-uple]] (in [[lingua inglese|inglese]] ''t-uples'').
Così sono considerati equivalenti i seguenti enunciati:
 
:<math>\langle x_1,x_2,\dotsb\rangle\in R</math>
:<math>R(x_1,x_2,\dotsb)</math>
 
Le relazioni sono distinte primariamente secondo la loro arietà, cioè secondo il numero degli insiemi che sono fattori del prodotto cartesiano. Esplicitamente diciamo:
* '''relazione unaria''': ''R''(''x'')
* '''[[relazione binaria]]''': ''R''(''x'', ''y'') or ''x'' ''R'' ''y''
* '''relazione ternaria''': ''R''(''x'', ''y'', ''z'')
* '''relazione quaternaria''': ''R''(''x'', ''y'', ''z'', ''w'')
 
Notare che per designare una relazione unaria è nettamente più diffuso il termine [[proprietà (matematica)|proprietà]]. Solitamente non si distinguono le arietà delle relazioni con più di quattro termini e si considerano collettivamente le relazioni ''n''-arie; per esempio non accade di vedere trattare le "relazioni 5-narie".
 
== Voci correlate ==
* [[Ennupla]]
*[[Modello relazionale]] per le [[base di dati|basi di dati]]
* [[AlgebraProdotto relazionalecartesiano]]
* [[Proprietà (matematica)]]
* [[Relazione binaria]]
* [[Relazione d'ordine]]
* [[Relazione di equivalenza]]
* [[Algebra relazionale]]
* [[Modello relazionale]]
 
 
[[Categoria:Matematica di base]]
[[Categoria:Teoria degli insiemi]]
[[Categoria:Teorie su base dati]]
 
[[be:Адносіна]]
Utente anonimo