Funzione trigonometrica: differenze tra le versioni
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A dire il vero, la parametrazione della circonferenza unitaria nel piano complesso non è exp(ix) ma è exp(ix)=1 |
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[[Immagine:Trigonometric functions.png|300px|right|thumb|Le funzioni trigonometriche dell'angolo θ si possono costruire geometricamente in termini di un cerchio unitario centrato in ''O''.]]
[[Immagine:Trigonometric-functions-thick.gif|200px|right|thumb|I [[
seno (<span style="color:#00A">blu</span>),
tangente (<span style="color:#A00">Rosso</span>),
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===Relazione con la funzione esponenziale e i numeri complessi===
Si può dimostrare, dalle definizioni in serie, che le funzioni seno e coseno sono rispettivamente la parte [[numero complesso|immaginaria]] e quella reale della [[esponenziale complesso|funzione esponenziale complessa]] quando il suo argomento è un numero immaginario:
:<math> e^{i \theta} = \cos\theta + i\mathrm{sen\,}\theta \,.</math>
Questa relazione fu notata per la prima volta da [[Leonardo Eulero|Eulero]] e, per questo motivo, l'identità è
: <math>\mathrm{sen\,} z \, = \, \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} \, = \, {e^{\imath z} - e^{-\imath z} \over 2\imath} = -\imath \,\mathrm{senh\,} \left( \imath z\right) </math>
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: <math>\mathrm{sen\,} x \, = \, \mbox{Im } (e^{\imath x})</math>
È noto anche che i processi esponenziali sono strettamente collegati al [[moto circolare]] e ai comportamenti periodici.
==Definizioni attraverso equazioni differenziali==
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===Funzioni periodiche===
[[Immagine:Synthesis square.gif|thumb|350px|right|Rappresentazione animata della sintesi additiva di un'[[onda quadra]] con un numero crescente di [[Armonica (fisica)|armoniche]] (da 1 a 24)]]
La funzione seno (e di conseguenza la funzione coseno, che altro non è se non la funzione seno sfasata di π/2) è essenziale per la descrizione del [[moto armonico semplice]], un concetto molto importante in fisica. In questo contesto, il seno e il coseno sono usati per descrivere la proiezione in una dimensione del [[moto circolare uniforme]], il moto di una massa soggetta ad una [[forza elastica]] o piccole oscillazioni di un [[pendolo]]. Esse sono [[funzione periodica|funzioni periodiche]] il cui grafico è il tipico schema di un'[[Onda (fisica)|onda]], e sono utili per la modellizzazione di fenomeni periodici come le [[onda acustica|onde acustiche]] o [[onda elettromagnetica|elettromagnetiche]]. Qualsiasi segnale si può rappresentare come una somma (tipicamente infinita) di funzioni seno e coseno di frequenza differente; questa è l'idea di base dell'[[analisi di Fourier]], in cui le serie trigonometriche sono utilizzate per risolvere molti problemi con condizioni al contorno nelle [[equazione differenziale alle derivate parziali|equazioni differenziali alle derivate parziali]]. Per esempio, l'[[onda quadra]] si può scrivere attraverso la [[serie di Fourier]]
:<math> x_{\mathrm{quadra}}(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty {\mathrm{sen} \, {\left( (2k-1)t \right)} \over (2k-1)}.</math>
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