Differenze tra le versioni di "Geometria differenziale delle curve"

m
nessun oggetto della modifica
m
Una ''curva'' è una [[funzione continua]]
:<math> f:I\to \mathbb R^n </math>
dove '''<math>I</math>''' è un [[intervallo (matematica)|intervallo]] dei [[numeri reali]], come ad esempio <math> [0, 1] </math>; la variabile in questo intervallo in genere si denota con la lettera ''<math>t''</math> e per la funzione si usa spesso la notazione ''<math>f''(''t'')</math>. In questa voce, supporremmo che <math> f </math> sia una [[funzione differenziabile]] sufficientemente regolare, ovvero una funzione che abbia derivate continue di un ordine sufficientemente alto; si chiede inoltre che la sua derivata prima <math> f'(t) </math> sia un vettore mai nullo su tutto l'intervallo ''<math>I''</math>.
 
Per ''supporto'' di <math> f </math> si intende la [[immagine (matematica)|immagine]] di tale funzione. Se <math> f </math> è [[funzione iniettiva|iniettiva]], la curva si dice '''semplice'''.
 
=== Lunghezza e parametrizzazione ===
Una ''riparametrizzazione'' di <math> f </math> è un'altra curva <math> g </math> tale che
:<math> g = f \circ p </math>
dove <math>p:J \rightarrow I</math> è una [[corrispondenza biunivoca|biiezione]] differenziabile con derivata sempre positiva (e quindi [[funzione crescente|crescente]]) e ''<math>J''</math> è un intervallo dei reali che potrebbe coincidere con ''<math>I''</math>. In questo caso le curve <math> f </math> e <math> g </math>, benché descritte con parametrizzazioni diverse, sono intese come equivalenti.
 
La ''lunghezza'' di una curva <math> f </math> definita su un intervallo chiuso <math> I = [a,b] </math> è fornita da:
 
:<math>L = \int_a^b \vert f'(t) \vert dt</math>
 
La lunghezza di una curva non cambia se essa viene riparametrizzata. Consideriamo che l'intervallo di definizione della curva sia della forma <math>[0,T]</math> e pensiamo che la variabile ''<math>t''</math> esprima il tempo per un corpo puntiforme ''<math>P''</math> che percorra la curva nell'intervallo temporale da 0 a ''<math>T''</math>; abbiamo quindi un ''modello cinematico'' della curva. Si puo` quindi dire che la lunghezza della curva percorsa dal corpuscolo dall'istante 0 all'istante ''<math>t''</math> è:
 
:<math>s(t) = \int_a^t \vert f'(u) \vert du.</math>
 
La funzione sempre crescente ''<math>s''(''t'')</math> stabilisce una biiezione tra gli intervalli <math>[0,T]</math> e <math>[0,L]</math> e porta ad una riparametrizzazione della curva:. scrivendoScrivendo:
 
:<math>f(t) ~=~ f_0 (s(t))</math>
 
== Sistema di Frenet ==
Un '''sistema di Frenet''' è un [[sistema di riferimento]] mobile di <math> n </math> [[base ortonormale|vettori ortonormali]] <math> e_1(t), \ldots, e_n(t)\,\! </math> dipendenti da <math> t </math>, utili per descrivere il comportamento locale della curva in <math> f(t) </math>.
:<math> e_1(t), \ldots, e_n(t)\,\! </math>
dipendenti da <math> t </math>, utili per descrivere il comportamento locale della curva in <math> f(t) </math>.
 
Per definire il sistema di Frenet è necessario supporre che la curva sia ''regolare'', cioè che le derivate <math> f'(t), f''(t), \ldots, f^{(n)}(t)\,\! </math> siano [[linearmente indipendenti]], e quindi formino una [[base (algebra lineare)|base]]. In questo caso, il sistema di Frenet è definito a partire da questa base tramite il procedimento di [[ortonormalizzazione di Gram-Schmidt]].
 
:<math> f'(t), f''(t), \ldots, f^{(n)}(t)\,\! </math>
Le '''curvature generalizzate''' sono definite come:
siano [[linearmente indipendenti]], e quindi formino una [[base (algebra lineare)|base]]. In questo caso, il sistema di Frenet è definito a partire da questa base tramite il procedimento di [[ortonormalizzazione di Gram-Schmidt]].
 
Le '''curvature generalizzate''' sono definite come
:<math>\chi_i(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_i'(t), \mathbf{e}_{i+1}(t) \rangle}{| f'(t) |}. </math>
 
== In due dimensioni ==
[[Immagine:Osculating circle.svg|thumb|right|Il cerchio osculatore]]
Nel piano, il primo vettore di Frenet <math> e_1(t) </math> è la '''tangente''' alla curva al tempo <math> t </math>, mentre il vettore <math> e_2(t) </math>, detto '''vettore normale''' è il vettore normale a <math> e_1(t) </math>, nella direzione in cui curva. La '''curvatura''' :
 
:<math>\kappa(t) = \chi_1(t)</math>
 
indica lo spostamento della curva dalla linea retta tangente. Il reciproco:
 
:<math>\frac{1}{\kappa(t)}</math>
è chiamato '''raggio di curvatura'''. Ad esempio, una [[circonferenza]] di raggio <math> r </math> ha curvatura costante <math> 1/r </math>, mentre una linea retta ha curvatura nulla.
 
è chiamato '''raggio di curvatura'''. Ad esempio, una [[circonferenza]] di raggio <math> r </math> ha curvatura costante <math> 1/r </math>, mentre una linea retta ha curvatura nulla.
Il '''cerchio osculatore''' è il cerchio tangente a <math> e_1(t) </math> e di raggio <math> 1/\kappa </math>. Il cerchio osculatore approssima la curva intorno al tempo <math> t </math> "fino al secondo ordine": ha cioè le stesse derivate prima e seconda di <math> f </math> nel punto.
 
Il '''cerchio osculatore''' è il cerchio tangente a <math> e_1(t) </math> e di raggio <math> 1/\kappa </math>. Il cerchio osculatore approssima la curva intorno al tempo <math> t </math> "fino al secondo ordine": ha cioè le stesse derivate prima e seconda di <math> f </math> nel punto.
 
== In tre dimensioni ==
 
=== Vettore tangente ===
Il primo vettore di Frenet <math> e_1 </math> è il '''vettore tangente''', definito quindi come:
 
:<math>\mathbf{e}_{1}(t) = \frac{ f'(t) }{ | f'(t) |}.</math>
 
Se <math> f </math> è parametrizzato secondo la lunghezza d'arco, questo si riduce semplicemente a
 
=== Versore normale ===
Il '''versore normale''' misura quanto la curva differisce da una linea retta, ed è il secondo vettore di Frenet, definito quindi come:
 
:<math>\mathbf{e}_2(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_2}(t)} {| \overline{\mathbf{e}_2}(t) |}
\mbox{, } \quad
\overline{\mathbf{e}_2}(t) = f''(t) - \langle f''(t), \mathbf{e}_1(t) \rangle \, \mathbf{e}_1(t).</math>
 
I vettori tangente e normale [[span lineare|generano]] un piano, chiamato '''piano osculatore''' della curva al punto <math> t </math>.
 
=== Curvatura ===
La prima curvatura generalizzata χ<sub>1</sub>(''t'') è chiamata semplicemente '''curvatura''' di <math> f </math> in <math> t </math>, ed è data da
 
:<math>\kappa(t) = \chi_1(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_1'(t), \mathbf{e}_2(t) \rangle}{| f^'(t) |}.</math>
 
Il reciproco della curvatura
:<math>\frac{1}{\kappa(t)}</math>
 
è il '''raggio di curvatura''' nel punto <math> t </math>.
 
=== Vettore binormale ===
Il '''vettore binormale''' è il terzo vettore di Frenet <math> e_3(t) </math>: è ortogonale al piano osculatore, definito con il [[prodotto vettoriale]] semplicemente come:
 
:<math>\mathbf{e}_3(t) = \mathbf{e}_1(t) \times \mathbf{e}_2(t).</math>
 
=== Torsione ===
La seconda curvatura generalizzata χ<sub>2</sub>(''t'') è chiamata '''torsione''' e misura quanto la curva esce dal piano osculatore. Quindi una curva ha torsione nulla se e solo se è una [[curva piana]].
 
:<math>\tau(t) = \chi_2(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_2'(t), \mathbf{e}_3(t) \rangle}{| f'(t) |}.</math>
 
== Formule di Frenet-Serret ==
 
== Proprietà delle curvature ==
Le curvature determinano la curva. Formalmente, date <math> n </math> funzioni:
 
:<math>\chi_i:[a,b] \to \mathbb R^n, \ i= 1,\ldots,n</math>
 
sufficientemente differenziabili, con:
 
:<math>\chi_i(t) > 0 \mbox{, } 1 \leq i \leq n-1</math>
 
{{Portale|matematica}}
 
[[Categoria:Curve]]
[[Categoria:Geometria differenziale]]
39 163

contributi