Operatore differenziale: differenze tra le versioni
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==Notazioni==
Il più comune operatore differenziale è la derivata. Comuni notazioni sono <math>{d \over dx}</math>, <math>D</math> quando la variabile di differenziazione non necessita di essere esplicitata, e <math>D_x</math> quando la variabile è dichiarata esplicitamente. Per le derivate successive si usa rispettivamente <math>d^n \over dx^n</math>, <math>D^n</math> e <math>D^n_x</math>. La notazione ''D'' è accreditata a [[Oliver Heaviside]], che considerava gli operatori differenziali della forma:
: <math>{d \over dx}</math>▼
:<math>\sum_{k=0}^n c_k D^k</math>
nello studio delle [[equazione differenziale|equazioni differenziali]]. Uno dei più frequenti operatori differenziali è il [[laplaciano]], definito come:
:<math>\Delta=\nabla^{2}=\sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}
Un altro operatore differenziale è l'operatore
:<math>\Theta = z {d \over dz}.</math>
==Operatori differenziali lineari==
Un operatore differenziale lineare è un particolare
:<math>A = \sum_{n=0}^{N} c_n (x) \frac{d^n}{dx^n}</math>
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In generale un operatore è rappresentato da una matrice quadrata e il prodotto scalare <math>\langle g|Af \rangle</math> è un elemento della matrice.
Valgono le proprietà della somma e del prodotto per un numero sono identiche a quelle vettoriali. Le loro proprietà sono:
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possiamo dire che due operatori commutano se e solo se: <math>[A,B]=0</math>.
Ogni polinomiale in ''D'' con coefficienti funzionali è ancora un operatore differenziale. Si possono comporre operatori differenziali con la regola▼
:(''D''<sub>1</sub>o''D''<sub>2</sub>)(f) = ''D''<sub>1</sub> [''D''<sub>2</sub>(''f'')].▼
Ogni coefficiente funzionale dell'operatore ''D''<sub>2</sub> deve essere [[differenziabile]] tante volte quanto l'operatore ''D''<sub>1</sub> richiede. Per ottenere un [[anello (algebra)|anello]] di tali operatori bisogna assumere che siano usate derivate di ogni ordine. Inoltre questo anello non è [[commutativo]]: un operatore ''gD'' non è in generale uguale a ''Dg''. Per esempio la relazione semplice in [[meccanica quantistica]]▼
Il sottoanello di operatori che sono polinomiali in ''D'' con [[coefficienti costanti]] è invece commutativo. Può essere caratterizzato in un altro modo: esso consiste negli operatori invarianti per traslazione.▼
===Potenza===
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:<math>F(t) = \sum_{n=0}^{\infty} F_n t^n</math>
{{vedi anche|Operatore aggiunto}}
Dato un operatore lineare differenziale:
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Questo operatore gioca un ruolo fondamentale nella [[Teoria di Sturm-Liouville]] dove vengono esaminate le [[autofunzione|autofunzioni]] di questo operatore (analoghe agli [[autovettori]])
▲Ogni polinomiale in ''D'' con coefficienti funzionali è ancora un operatore differenziale. Si possono comporre operatori differenziali con la regola
▲:(''D''<sub>1</sub>o''D''<sub>2</sub>)(f) = ''D''<sub>1</sub> [''D''<sub>2</sub>(''f'')].
▲Ogni coefficiente funzionale dell'operatore ''D''<sub>2</sub> deve essere [[differenziabile]] tante volte quanto l'operatore ''D''<sub>1</sub> richiede. Per ottenere un [[anello (algebra)|anello]] di tali operatori bisogna assumere che siano usate derivate di ogni ordine. Inoltre questo anello non è [[commutativo]]: un operatore ''gD'' non è in generale uguale a ''Dg''. Per esempio la relazione semplice in [[meccanica quantistica]]
▲Il sottoanello di operatori che sono polinomiali in ''D'' con [[coefficienti costanti]] è invece commutativo. Può essere caratterizzato in un altro modo: esso consiste negli operatori invarianti per traslazione.
==Più variabili==
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