Differenze tra le versioni di "Operatore differenziale"

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==Notazioni==
Il più comune operatore differenziale è la derivata. Comuni notazioni sono <math>{d \over dx}</math>, <math>D</math> quando la variabile di differenziazione non necessita di essere esplicitata, e <math>D_x</math> quando la variabile è dichiarata esplicitamente. Per le derivate successive si usa rispettivamente <math>d^n \over dx^n</math>, <math>D^n</math> e <math>D^n_x</math>. La notazione ''D'' è accreditata a [[Oliver Heaviside]], che considerava gli operatori differenziali della forma:
Il più comune operatore differenziale è la derivata. Comuni notazioni sono:
 
: <math>{d \over dx}</math>
 
: <math>D,</math> quando la variabile di differenziazione è chiara, e
 
: <math>D_x,</math> quando la variabile è dichiarata esplicitamente.
 
Per le derivate successive
 
: <math>d^n \over dx^n</math>
 
: <math>D^n</math>
 
: <math>D^n_x.</math>
 
La notazione D è accreditata a [[Oliver Heaviside]], che considerava gli operatori differenziali della forma
 
:<math>\sum_{k=0}^n c_k D^k</math>
 
nello studio delle [[equazione differenziale|equazioni differenziali]]. Uno dei più frequenti operatori differenziali è il [[laplaciano]], definito come:
 
Uno dei più frequenti operatori differenziali è il [[laplaciano]], definito come
 
:<math>\Delta=\nabla^{2}=\sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}.</math>
 
Un altro operatore differenziale è l'operatore &<math>\Theta;</math>, definito come:
 
:<math>\Theta = z {d \over dz}.</math>
 
==Operatori differenziali lineari==
Un operatore differenziale lineare è un particolare [[operatore differenziale]] che agisce come una [[trasformazione lineare]], cioè conserva le operazioni di somma e prodotto. Le nozioni che valgono per gli operatori lineari sono validi particolarmente per gli operatori differenziali lineari che sono una parte importante degli operatori lineari. Un operatore differenziale lineare può essere scritto nella forma più generale:
 
:<math>A = \sum_{n=0}^{N} c_n (x) \frac{d^n}{dx^n}</math>
In generale un operatore è rappresentato da una matrice quadrata e il prodotto scalare <math>\langle g|Af \rangle</math> è un elemento della matrice.
 
===Proprietà===
Valgono le proprietà della somma e del prodotto per un numero sono identiche a quelle vettoriali. Le loro proprietà sono:
 
 
possiamo dire che due operatori commutano se e solo se: <math>[A,B]=0</math>.
 
Ogni polinomiale in ''D'' con coefficienti funzionali è ancora un operatore differenziale. Si possono comporre operatori differenziali con la regola
 
:(''D''<sub>1</sub>o''D''<sub>2</sub>)(f) = ''D''<sub>1</sub> [''D''<sub>2</sub>(''f'')].
 
Ogni coefficiente funzionale dell'operatore ''D''<sub>2</sub> deve essere [[differenziabile]] tante volte quanto l'operatore ''D''<sub>1</sub> richiede. Per ottenere un [[anello (algebra)|anello]] di tali operatori bisogna assumere che siano usate derivate di ogni ordine. Inoltre questo anello non è [[commutativo]]: un operatore ''gD'' non è in generale uguale a ''Dg''. Per esempio la relazione semplice in [[meccanica quantistica]]
 
: <math>{dDx -xD = 1 \over dx}</math>
 
Il sottoanello di operatori che sono polinomiali in ''D'' con [[coefficienti costanti]] è invece commutativo. Può essere caratterizzato in un altro modo: esso consiste negli operatori invarianti per traslazione.
 
===Potenza===
:<math>F(t) = \sum_{n=0}^{\infty} F_n t^n</math>
 
===Operatore aggiunto===
{{vedi anche|Operatore aggiunto}}
Dato un operatore lineare differenziale:
 
Questo operatore gioca un ruolo fondamentale nella [[Teoria di Sturm-Liouville]] dove vengono esaminate le [[autofunzione|autofunzioni]] di questo operatore (analoghe agli [[autovettori]])
 
==Proprietà degli operatori differenziali==
Ogni polinomiale in ''D'' con coefficienti funzionali è ancora un operatore differenziale. Si possono comporre operatori differenziali con la regola
 
:(''D''<sub>1</sub>o''D''<sub>2</sub>)(f) = ''D''<sub>1</sub> [''D''<sub>2</sub>(''f'')].
Ogni coefficiente funzionale dell'operatore ''D''<sub>2</sub> deve essere [[differenziabile]] tante volte quanto l'operatore ''D''<sub>1</sub> richiede. Per ottenere un [[anello (algebra)|anello]] di tali operatori bisogna assumere che siano usate derivate di ogni ordine. Inoltre questo anello non è [[commutativo]]: un operatore ''gD'' non è in generale uguale a ''Dg''. Per esempio la relazione semplice in [[meccanica quantistica]]
 
:<math>Dx -xD = 1 \ </math>
 
Il sottoanello di operatori che sono polinomiali in ''D'' con [[coefficienti costanti]] è invece commutativo. Può essere caratterizzato in un altro modo: esso consiste negli operatori invarianti per traslazione.
 
==Più variabili==
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