Differenze tra le versioni di "Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy"

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In [[matematica]], il '''teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy''', detto anche '''teorema di Peano e Picard''', '''teorema di Picard–Lindelöf''' o '''teorema di Cauchy-Lipschitz''', stabilisce le condizioni di esistenza e unicità della soluzione di un'[[equazione differenziale ordinaria]].
{{F|matematica|luglio 2012}}
 
InSi [[matematica]], il '''teorematratta di esistenzauna egeneralizzazione unicità''', detto anchedel '''teorema di Peano e Picard''', il quale assicurastabilisce che, dato un [[problema di Cauchy]] della forma:
 
:<math>\Theta = \left\{ \begin{array}{ll}
</math>
 
con <math>x_0\in \R</math> e <math>y_0 \in \R^n</math>, sottose opportune [[ipotesi]] sullala [[Funzione (matematica)|funzione]] <math>f(x,y)</math> è garantita l'esistenza di un'unica [[Equazionefunzione continua|soluzionecontinua]] e limitata in una regione <math>y = y(x)D</math> chedel soddisfasuo ildominio sistemaallora esiste almeno una curva-soluzione <math>\Thetay = y(x)</math> in[[funzione unliscia|differenziabile [[intornocon continuità]] <math>{I_\delta}\,passante =\,\left[per {x_0}-\delta,{x_0}+ogni \delta\right[[punto interno]]</math> dia <math>x_0D</math>, conche unsoddisfa il sistema <math>\deltaTheta</math>.<ref>{{cita opportunoweb|http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Peano_theorem|Encyclopedia of Mathematics - Peano theorem|06-01-2013}}</ref> La funzione <math>y</math> può essere sia una funzione[[campo scalare|scalare]] che [[funzione vettoriale|vettoriale]], quindi il teorema è anche valido per risolvere un [[sistema di equazioni differenziali]].
 
Il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy generalizza il risultato di Peano considerando una [[funzione lipschitziana]], ed ottenendo che in tal caso la soluzione è unica.
Le due [[dimostrazione|dimostrazioni]] riportate di seguito forniscono [[stima|stime]] più o meno accurate sul valore di <math>\delta</math>. Nelle due differenti versioni questo teorema è detto anche '''teorema di Cauchy-Lipschitz''' e '''teorema di Picard-Lindelöf'''.
 
== Condizioni sulla funzione ==
<li>Sia <math>f</math> deveuna esserefunzione definita in un [[intorno]] del punto <math>(x_0,y_0)\in\R\times\R^n</math> della forma:
 
Le opportune ipotesi su <math>f</math> possono essere riassunte come segue:
<ol>
<li> <math>f</math> deve essere definita in un [[intorno]] del punto <math>(x_0,y_0)\in\R\times\R^n</math> della forma
:<math>I \times J = \{ (x, y ) \in \R \times \R^n : |x - x_0| \leq a, \|y - y_0 \| \leq b \}</math>
 
con <math>a</math>, <math>b</math> reali positivi.
con <limath>a</math>, <math>fb</math> devereali esserepositivi, e si ponga che <math>f</math> è almeno di [[Classe C di una funzione|classe]] <math>C^{0}</math> suin tale intorno. Si supponga inoltre <math>f</math> [[Funzione lipschitziana|lipschitziana]] rispetto alla variabile <math>y</math> e uniformemente rispetto alla variabile <math>x</math>:
 
<li> <math>f</math> deve essere [[Funzione lipschitziana|lipschitziana]] rispetto alla variabile <math>y</math>, uniformemente rispetto alla variabile <math>x</math>, o in formule:
:<math>\|f(x,y_1) - f(x,y_2)\| \leq L \cdot \|y_1 - y_2\| \quad \forall x \in I, \quad \forall y_1, y_2 \in J</math><br/>
 
con <math>L>0</math> costante di [[Rudolph Otto Sigismund Lipschitz|Lipschitz]].
</ol>
 
Allora il [[problema di Cauchy]]:
== Formulazione integrale ==
 
:<math>\Theta = \left\{ \begin{array}{ll}
y' &= f(x,y)\\
y(x_0) & = y_0
\end{array} \right.
</olmath>
 
possiede una soluzione unica.
 
Sotto l'ipotesi di continuità della funzione è possibile dimostrare l'equivalenza tra il problema di [[Cauchy]] e la seguente [[equazione integrale]], detta ''equazione di Volterra'':
 
:<math>y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f (t,y(t)) \mathrm{d}t \qquad \forall x \in I_\delta</math>
 
dove la <math>f</math> è la stessa del problema di Cauchy, ovvero lL'esistenza di una funzione <math>y = y(x)</math> che soddisfa al sistema <math>\Theta</math> si verifica [[se e solo se]] anchetale l'equazione sopra ammette soluzione.
 
== Dimostrazioni ==
Qui diNel seguito sono elencate due diverse dimostrazioni del [[teorema]] di esistenza e unicità; la prima sfrutta concetti basilari di [[analisi funzionale]], ed è la dimostrazione più "classica"; la seconda invece sfrutta argomenti di [[analisi reale]], ed ha il pregio di mostrare come costruire operativamente una soluzione attraverso approssimazioni successive e di dare una [[stima]] generalmente più accurata del <math>\delta</math> considerato sopra.
 
Qui di seguito sono elencate due diverse dimostrazioni del [[teorema]] di esistenza e unicità; la prima sfrutta concetti basilari di [[analisi funzionale]], ed è la dimostrazione più "classica"; la seconda invece sfrutta argomenti di [[analisi reale]], ed ha il pregio di mostrare come costruire operativamente una soluzione attraverso approssimazioni successive e di dare una [[stima]] generalmente più accurata del <math>\delta</math> considerato sopra.
 
==== Prima dimostrazione ====
Aggiungendo le condizioni iniziali (la scelta <math>x_0 = 0</math> è arbitraria) <math>y(0) = y_0</math> e <math>z(0) = z_0</math> si ottiene come unica soluzione
:<math>y(x) = y_0\cos(\omega x)+\frac{z_0}{\omega} \sin(\omega x)</math>.
 
==Note==
<references/>
 
== Bibliografia ==
*{{en}} [[Vladimir Igorevich Arnold]] (1988): ''Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations'', 2nd ed., Springer, ISBN 0-387-96649-8
* {{en}} [[Vladimir Igorevich Arnold]] (1992): ''Ordinary Differential Equations'', Springer, ISBN 3-540-54813-0
* {{fr}} G. Peano, ''Démonstration de l'intégrabilité des équations différentielles ordinaires'' Math. Ann. , 37 (1890) pp. 182–228
* {{en}} I.G. Petrovskii, ''Ordinary differential equations'' , Prentice-Hall (1966) (Translated from Russian)
* {{en}} P. Hartman, "Ordinary differential equations" , Birkhäuser (1982)
 
==Voci correlate==
*[[Equazione differenziale ordinaria]]
*[[SistemaProblema di equazioni differenzialiCauchy]]
*[[Augustin Cauchy]]
*[[Rudolph Otto Sigismund Lipschitz]]
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