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==Caratteristiche==
[[File:Simple harmonic motion animation.gif|thumb|right|Onda che può essere rappresentata da un semplice moto armonico. Secondo il [[teorema di Fourier]] ogni onda può essere scritta come sommatoria (eventualmente infinita) di semplici onde armoniche]]
Equivalentemente, usandoUsando la [[formula di Eulero]], questiun'onda terminisinusoidale possonopuò essere rappresentatirappresentata come la parte reale di unadella funzione immaginaria: ▼
:<math>f(\xi) = f_{max} \, \Re{[\mathrm e^{i(\vec k \cdot \vec r + \omega t + \phi)}]} </math> ▼Nel caso di un'onda periodica, la rappresentazione in [[serie di Fourier]] permette di descrivere l'onda come somma di termini sinusoidali del tipo:
In queste formuledove <math>\vec k </math> è il [[vettore d'onda]], che identifica la direzione di propagazione dell'onda al posto della velocità di propagazione. Il suo modulo è chiamato ''pulsazione spaziale'', ed è legato alla lunghezza d'onda dalla relazione: ▼:<math>f(\xi) = f(\vec r \pm \vec v t) = f_{max} \cos ( \vec k \cdot \vec r + \omega t + \phi)</math>
▲Equivalentemente, usando la [[formula di Eulero]], questi termini possono essere rappresentati come la parte reale di una funzione immaginaria:
▲:<math>f(\xi) = f_{max} \, \Re{[\mathrm e^{i(\vec k \cdot \vec r + \omega t + \phi)}]} </math>
▲In queste formule <math>\vec k </math> è il [[vettore d'onda]], che identifica la direzione di propagazione dell'onda al posto della velocità di propagazione. Il suo modulo è chiamato ''pulsazione spaziale'', ed è legato alla lunghezza d'onda dalla relazione:
:<math>k = |\vec k| = \frac {2 \pi}{\lambda}</math>.
Lo scalare <math>f_{max}</math> è l'ampiezza dell'onda, e rappresenta il massimo valore della grandezza rappresentativa dell'onda in un periodo. Il termine <math>\phi</math> rappresenta la [[Fase (segnali)|fase]] iniziale dell'onda.
Le onde sinusoidali sono una soluzione particolare dell' [[equazione generale delle onde ]]. L'onda è una [[funzione (matematica)|funzione]] dello spazio e tempo, per cui un'onda monodimensionale associa ad ogni posizione spaziale ''x'' ed ad ogni tempo ''t'' un'ampiezza di oscillazione ''y'' delle particelle attorno alla posizione di equilibrio: ▼Un'onda può essere descritta per mezzo della sua [[frequenza angolare]], che è correlata alla frequenza <math>\nu</math> secondo la relazione:
:<math>\omega = \frac{2\pi}{T} = 2 \pi \nu</math>.
▲Le onde sinusoidali sono una soluzione particolare dell'equazione generale delle onde. L'onda è una [[funzione (matematica)|funzione]] dello spazio e tempo, per cui un'onda monodimensionale associa ad ogni posizione spaziale ''x'' ed ad ogni tempo ''t'' un'ampiezza di oscillazione ''y'' delle particelle attorno alla posizione di equilibrio:
:<math>\mathit{y=f(x,t)}</math>
Sono possibili perciò due punti di vista:
* scegliendo di valutare la dimensione temporale (''x fissato''), esprimeremo l'oscillazione y in dipendenza dal tempo t.: <math>\mathit{y=f(t)}</math>.
* scegliendo invece di focalizzare l'attenzione sullo stato di un mezzo perturbato in un certo istante (''<math>\mathit{t}</math> fissato'') abbiamosi ha l'"istantanea" dell'onda, appunto, cioè la '''forma d'onda'''...: il suo profilo al tempo fissato di osservazione:, e l'oscillazione y èpuò essere espressa in funzione della posizione x. come <math>\mathit{y=f(x)}</math>.
In entrambi i casi si può partire dalla dipendenza co-sinusoidale delle variabili nel moto armonico, ricavate considerando quest'ultimo come una opportuna proiezione di un moto circolare uniforme:
dove y<sub>max</sub> è l'ampiezza dell'oscillazione, e <math>\phi</math> è la fase iniziale: attribuendo a <math>\phi</math> un valore di 90 gradi si può passare da una forma in coseno ad una in seno, quindi le espressioni sono equivalenti. L'espressione è in y per attuare la "visualizzazione" dell'oscillazione lungo l'asse verticale del sistema coordinato.
Fissando la variabile x si ha:
Nel primo caso dell'elenco, esprimiamo:
:<math>y=y_{max} \, \cos(\omega t+\phi) = y_{max} \, \cos(\frac{2\pi}{\tau}t)</math> (1)
(dove <math>\tau</math> è il periodo dell'onda,. si è applicata la definizione di velocità angolare del moto circolare; laLa fase iniziale è nulla);, e se la perturbazione sul mezzo si propaga dall'inizio muovendosi con velocità di fase <math>\mathit{v}</math>, allora essa raggiungerà un altro punto (a destra dell'origine) ad una certa distanza <math>\mathit{x}</math> dopo un tempo:
:<math>t1 = \frac{x}{v}</math>
Ciò significa che il punto alla coordinata <math>\mathit{x}</math> avrà, al tempo t, uno spostamento verticale uguale a quello che aveva il punto iniziale t1 secondi prima!. La propagazione è quindi descritta dall'espressione:
:<math>y=y_{max} \, \cos[\frac{2\pi}{\tau}(t-t1)]=y_{max} \, \cos[\frac{2\pi}{\tau}(t-\frac{x}{v})]</math>
:<math>y=y_{max} \, \cos[2\pi(\frac{t}{\tau}-\frac{x}{\lambda})]</math>
Se chiamiamosi chiama '''numero di onda k''' la quantità <math>\frac{2\pi}{\lambda}</math>, e '''se la pulsazione è <math>\omega</math>''' (in pratica una velocità angolare), il rapporto già noto dallo studio del moto circolare <math>\frac{2\pi}{\tau}</math> perveniamoconsente infinedi pervenire formalmente all''''equazione delle onde armoniche''':
:<math>y=y_{max} \, \cos(\omega t-kx)</math>
Se all'espressione in coseno iniziale, la (1), si fosse aggiunta una fase di 90, si sarebbe ottenuta un'espressione in seno negativo in virtù di: <math>\cos(\alpha+90)=\sin(-\alpha)</math>;, e questo avrebbe portato, seguendo il medesimo procedimento, a un'espressione sinusoidale con i segni interni invertiti (<math>y=y_{max} \, \sin(kx-\omega t)</math>) che talvolta viene presentata sui testi.
Considerando il secondo caso dell'elenco sopra, questaad volta partiamo da una istantanea dell'onda alun tempo fissato, cioè da una forma d'onda; volendo fare tutti i passaggi:
:<math>y=y_{max} \, \cos(\omega t+\phi)=y_{max} \, \cos(\frac{2\pi}{\tau}t)=y_{max} \, \cos(\frac{2\pi}{\lambda}x)</math> (2)
[[File:Onda 2.jpg|thumb|300px|Profilo di un'onda sinusoidale progressiva che varia nel tempo, <math>y=\sin[2\pi(\frac{x}{2\pi}-\frac{t}{2\pi})]</math>]]
AbbiamoSi è espresso il tempo come <math>t=x/v</math>, sostituendo ed usando la relazione fondamentale delle onde <math>\mathit{\lambda=v\tau}</math> (la lunghezza d'onda è lo spazio percorso da un'onda con velocità di fase v in un periodo <math>\tau</math>): in ogni caso, quel che conta è che si ottiene una cosinusoide di periodo spaziale <math>\lambda</math> dipendente solo dalla posizione x. Se l'impulso si sta muovendo lungo l'asse delle ascisse, inducendo una oscillazione sulle ordinate, ad un certo istante successivo a quello fissato il punto alla certa coordinata x avrà una elevazione uguale a quella del punto x0 da cui l'impulso è partito t secondi prima; l'onda si propaga quindi (verso destra) con un profilo dato da:▼
▲Abbiamo espresso il tempo come <math>t=x/v</math>, sostituendo ed usando la relazione fondamentale delle onde <math>\mathit{\lambda=v\tau}</math> (la lunghezza d'onda è lo spazio percorso da un'onda con velocità di fase v in un periodo <math>\tau</math>): in ogni caso, quel che conta è che si ottiene una cosinusoide di periodo spaziale <math>\lambda</math> dipendente solo dalla posizione x.
A questo punto, possiamo fare un ragionamento analogo a quello precedente: se l'impulso si sta muovendo lungo l'asse delle ascisse, inducendo una oscillazione sulle ordinate, ad un certo istante successivo a quello fissato il punto alla certa coordinata x avrà una elevazione uguale a quella del punto x0 da cui l'impulso è partito t secondi prima; l'onda si propaga quindi (verso destra) con un profilo dato da:
:<math>y=y_{max} \, \cos(\frac{2\pi}{\lambda}(x-vt))</math>
mentre avremmosi dovutosarebbe dovuta considerare una espressione in parentesi tonda del tipo (x+vt) se avessimosi volutofosse voluta descrivere la propagazione verso sinistra. SiEsprimendo introduce<math>\mathit{v=\frac{\lambda}{\tau}}</math> nuovamentee lasostituendo, dipendenzasi dal tempo.ha l'espressione:
Se può aiutare a visualizzarlo meglio, si consideri <math>\mathit{x=x0+vt}</math> con x0 nell'origine degli assi ed x alla sua destra: se inizialmente y=f(x0) ricordando l'elenco sopra (descriviamo l'oscillazione solo in dipendenza dall'ordinata se fissiamo il tempo), allora dopo t secondi di propagazione dell'impulso, dato che l'elevazione verticale è uguale, si avrà y=f(x-vt).
In ogni caso, esprimendo <math>\mathit{v=\frac{\lambda}{\tau}}</math> e sostituendo, si ha l'espressione:
:<math>y=y_{max} \, \cos[2\pi(\frac{x}{\lambda}-\frac{t}{\tau})]</math>
che considerando la relazione goniometrica <math>\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)</math> è analoga a quella ottenuta in precedenza (perché si cambiano i segni dell'argomento). AncheUn qui,procedimento l'intero ragionamentoanalogo si potevaha fareusando la infunzione seno sfasando la (2) di -90 gradi dato che: <math>\cos(\alpha-90)=\sin(\alpha)</math>:. analogamenteAnalogamente all'osservazione di cui sopra, così facendo si sarebbe arrivati a: <math>y=y_{max} \, \sin(kx-\omega t)</math>.
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