Estrazione di una base: differenze tra le versioni
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== Il teorema di estrazione di una base==
Sia <math> V </math> uno [[spazio vettoriale]] di [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] <math> n </math> su un [[campo (matematica)|campo]] <math> K </math>. Il teorema di estrazione di una base asserisce che se <math> \mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_k </math> sono vettori che [[
* Il numero <math> k </math> è maggiore o uguale a <math> n </math>.
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== Esempio ==
Si estrae una base di <math> \R^3 </math> dall'insieme :
:<math> \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}. </math>▼
Il primo vettore non è nullo e quindi viene tenuto. Il secondo non è multiplo del primo, e quindi viene tenuto. Il terzo è però combinazione dei primi due, infatti▼
:<math> \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}. </math>▼
Quindi il terzo vettore è eliminato. Il quarto risulta indipendente dagli altri. Si ottiene quindi la base▼
:<math> \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}. </math>▼
▲:<math> \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
== Controesempio ==▼
▲Il primo vettore non è nullo e quindi viene tenuto. Il secondo non è multiplo del primo, e quindi viene tenuto. Il terzo è però combinazione dei primi due, infatti:
▲:<math> \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
▲Quindi il terzo vettore è eliminato. Il quarto risulta indipendente dagli altri. Si ottiene quindi la base:
▲:<math> \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
▲=== Controesempio ===
Se al posto di spazi vettoriali si considerano moduli liberi allora il risultato non è più vero. Si prenda ad esempio lo <math>\Z </math>-modulo libero <math>\Z\oplus \Z </math>. Allora si può verificare che <math>(3,1), (2,0), (0,1) </math> generano tutto <math>\Z\oplus \Z </math> ma né <math>(3,1), (2,0) </math>, né <math>(3,1), (0,1) </math> né <math>(2,0), (0,1) </math> sono basi sebbene linearmente indipendenti e di cardinalità uguale al rango dello <math>\Z </math>-modulo (ossia 2). Si osservi che un controesempio ancora più semplice si può trovare per lo <math>\Z </math>-modulo libero <math>\Z</math> scegliendo ad esempio <math>2, 3 </math> come sistema di generatori, da cui chiaramente non si riesce ad estrarre una base.
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== Voci correlate ==
* [[Base (algebra lineare)]]
* [[Completamento a base]]
* [[Copertura lineare]]
* [[Spazio vettoriale]]
{{algebra lineare}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Algebra lineare]]
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