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Campo vettoriale conservativo: differenze tra le versioni

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Nel [[calcolo vettoriale]], un '''campo vettoriale conservativo''' è un [[campo vettoriale]] caratterizzato dall'essere il [[gradiente]] di una [[Funzione (matematica)|funzione]], che prende il nome di [[potenziale scalare]].
 
Un campo vettoriale il cui rotore è nullo si dice '''irrotazionale'''. Un campo conservativo è sempre irrotazionale, mentre un campo irrotazionale è conservativo se l'insieme in cui esso è definito è un insieme aperto [[Insieme stellato|stellato]], o più in generale un insieme [[semplicemente connesso]], come stabilisce il [[lemma di Poincaré]].
 
==Definizione==
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==Definizione in forma integrale==
:Le condizioni per la conservatività di un campo vettoriale date in precedenza possono essere scritte in forma integrale. Condizione necessaria e sufficiente perché un campo vettoriale <math>\mathbf{F}</math> sia conservativo è che l'[[Integrale di linea di seconda specie|integrale curvilineo]] lungo qualsiasi linea chiusa <math>l</math> sia nullo:▼
Le condizioni viste sopra sono condizioni sotto forma differenziale. Si possono dare le corrispondenti condizioni necessaria e sufficiente in forma integrale:
▲:Condizione necessaria e sufficiente perché un campo vettoriale sia conservativo è che l'[[Integrale di linea di seconda specie|integrale curvilineo]] lungo qualsiasi linea chiusa <math>l</math> sia nullo:
:<math>\oint_{l} \mathbf{V} \cdot d\mathbf{s} = 0</math>▼
 
▲:<math>\oint_{l} \mathbf{VF} \cdot d\mathbf{s} = 0</math>
il che equivale a dire che l'integrale curvilineo non dipende dal cammino di integrazione, ma solo dai punti di partenza e di arrivo. Questa formulazione consente di calcolare esplicitamente la differenza di potenziale tra due punti ''A'' e ''B'':▼
 
:<math>\int_{A}^{B} \mathbf{V} \cdot d\mathbf{s} = U(B) - U(A) = \int_{A}^{B} \nabla U d\mathbf{s}</math>▼
▲il che equivale a dire che l'integrale curvilineo non dipende dal cammino di integrazione, ma solo dai punti di partenza e di arrivo. Questa formulazione consente di calcolare esplicitamente la differenza didel valore del potenziale tradel campo in due punti ''A'' e ''B'':
Quest'ultima formula è utile perché è il metodo pratico di calcolare il potenziale di un campo conservativo.
 
▲:<math>\int_{A}^{B} \mathbf{VF} \cdot d\mathbf{s} = U(B) - U(A) = \int_{A}^{B} \nabla U d\mathbf{s}</math>
 
Conoscendo quindi un punto dello spazio il cui potenziale è noto (ad esempio, è nullo), questa formula consente di valutare il potenziale di un campo conservativo in qualsiasi altra posizione.
 
==Forza conservativa==
{{vedi anche|Forza conservativa}}
Una '''forza conservativa''' è una forza agente su un corpo, funzione soltanto della sua posizione, e che costituisce un campo vettoriale conservativo. In questo caso il potenziale corrisponde all'[[energia potenziale]] della forza, mentre l'integrale curvilineo corrisponde al [[Lavoro (fisica)|lavoro]] compiuto dalla forza quando il corpo si sposta lungo il cammino di integrazione. Una definizione di forza conservativa, del tutto analoga a quella sopra scritta, è quindi:
Si consideri il moto di un oggetto soggetto ad una [[forza]], che può essere rappresentata nello spazio con un [[Campo di forze|campo vettoriale]] <math>\mathbf{F}</math>. Il [[Lavoro (fisica)|lavoro]] compiuto dalla forza sull'oggetto è definito come l'integrale curvilineo (rispetto alla posizione) di <math>\mathbf{F}</math> lungo il percorso compiuto nello spazio. Condizione necessaria e sufficiente affinchè la forza sia conservativa è che il lavoro compiuto durante un certo tragitto non dipenda dal particolare cammino percorso, ma solo dalla posizione dei punti di partenza e di arrivo. In tal caso il potenziale della forza in un punto è proporzionale all'[[energia potenziale]] posseduta dall'oggetto in quel punto a causa della presenza della forza. Una forza conservativa è quindi una funzione che dipende soltanto dalla posizione, ed un modo equivalente per stabilirne la conservatività è osservare che il lavoro compiuto da essa lungo una qualsiasi traiettoria chiusa è nullo.
:Condizione necessaria e sufficiente perché una forza sia conservativa è che il lavoro compiuto su un corpo non dipenda dal cammino da esso percorso, ma solo dai punti di partenza e di arrivo.
 
==Esempi==
===;Campo costante===
Un campo costante ha l'espressione:
 
:<math>\mathbf{F}(\mathbf{r}) = \mathbf{F} = F \mathbf{u}</math>
dove '''u''' è un [[versore]], ossia un vettore di norma unitaria. Per semplicità assumeremo che '''u''' sia diretto lungo l'asse ''z'' (il che si può sempre ottenere con un'opportuna rotazione di coordinate).▼
 
▲dove '''<math>\mathbf{u'''}</math> è un [[versore]], ossia un vettore di norma unitaria. Per semplicità assumeremosi assume che '''<math>\mathbf{u'''}</math> sia diretto lungo l'asse ''z'' (il che si può sempre ottenere con un'opportuna rotazione di coordinate).
Un tale campo è sempre conservativo, in quanto ammette un potenziale della forma▼
 
▲Un tale campo è sempre conservativo, in quanto ammette un potenziale della forma:
 
:<math>U(\mathbf{r}) = F z</math>
 
===;Campo centrale===
Un campo centrale radiale ha l'espressione:
 
:<math>\mathbf{F}(\mathbf{r}) = f(r) \hat{\mathbf{r}}\qquad</math>
 
dove <math>\hat{\mathbf{r}}</math> è il versore nella direzione di <math>\mathbf{r}</math> e <math>r</math> è il suo modulo.
 
Se <math>f(r)</math> è ben definita e non ha patologie che ne precludono l'integrabilità allora il campo è conservativo, in quanto ammette un potenziale della forma:
 
:<math>U(\mathbf{r}) = \int f(r) dr</math>
 
In fisica si introduce spesso, ad esempio in [[elettrostatica]], il concetto di potenziale definendolo come il [[lavoro]] speso per portare un corpo immerso in un campo di forze conservative da un punto molto lontano (infinito) a un punto <math>\mathbf{r}</math> dello spazio:
 
:<math>U(\mathbf{r}) = -\int_{\infty}^r f(r') dr'</math>
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Campo_vettoriale_conservativo"