Differenze tra le versioni di "Controllo deadbeat"

nessun oggetto della modifica
(eliminato template "da verificare" cfr discussione)
<math>G(z)=\frac{D(z)G_p(z)}{1+D(z)G_p(z)}</math>
 
In questo contesto <math>D(z)</math> è il controllore e <math>G_p(z)</math> la funzione di trasferimento del plant in anello aperto.
====Raggiungimento del valore finale in tempo minimo====
Affinché l'uscita raggiunga il valore finale in un numero limitato di passi, si impone che essa sia del tipo<math>G_m(z)=a_0+a_1z^{-1}+...+a_Nz^{-N}</math> dove, poiché il ritardo nel sistema in anello chiuso non può essere inferiore al ritardo del sistema in anello aperto, dev'essere <math>N\ge n</math> se n è il grado del polinomio caratteristico del plant.
 
Imponendo la condizione <math>G_m(z)=G(z)</math> è possibile esplicitare la funzione di trasferimento del controllore:
<math> D(z)=\frac{G_m(z)}{G_p(z)\left [1-G_m(z)\right ]} </math>
 
Si noti come il regolatore possiede la dinamica inversa del plant. Benché teoricamente sia sempre possibile costruire un regolatore con questa struttura, affinché esso sia stabile, causale e di conseguenza realizzabile anche nella pratica, devono essere rispettate una serie di condizioni.
Le condizioni di causalità sono:
# Il grado del numeratore di D(z) non può essere maggiore del grado del denumeratoredenominatore
# Se nel plant è presente un ritardo di k intervalli di campionamento, nel controllore dev'esserci necessariamente un ritardo di h intervalli di campionamento con <math>h\ge k</math>
 
La prima di queste condizioni è dettata dal fatto che se il grado del numeratore della funzione di trasferimento è maggiore del grado del denominatore, essa risponde ad un impulso di Kronecker applicato all'istante zero con un segnale più veloce del segnale d'ingresso. Il sistema è quindi anticipativo e non è fisicamente realizzabile.
 
Le condizioni per la stabilità sono:
# Tutti i poli instabili o criticamente stabili di <math>G_p(z)</math> devono essere zeri di 1-G_m(z)
# Tutti gli zeri di <math>G_p(z)</math> che si trovano nella regione di instabilità devono essere zeri di <math>G_m(z)</math>
 
Queste condizioni sono necessarie poiché nella pratica non è possibile compensare con precisione i poli e gli zeri. A questo proposito è opportuno ricordare che un [[modello matematico]] non rappresenta il sistema in sé ma una sua approssimazione. Talvolta questi sistemi sono conosciuti soltanto grazie alle loro [[modello black box|variabili esterne]] e costituiscono quindi un'approssimazione decisamente grossolana. Per quanto detto è impossibile stabilire con precisione la posizione di un polo o di uno zero per compensarli con precisione. Tutto ciò non crea problemi alla stabilità del sistema quando i poli sono stabili ma la situazione diventa problematica se i poli sono instabili (ci si può rendere conto facilmente degli effetti di una cancellazione imperfetta di un polo o di uno zero analizzando il [luogo delle radici]] del sistema).
 
====Errore a regime nullo====
 
====Evitare fenomeni di ringing====
Per capire cos'è il fenomeno del ringing e come prevenirlo bisogna studiare la dinamica della variabile di attuazione. A questo proposito si consideri un plant con tutti i poli e gli zeri nella regione di stabilità e sia <math>p_1=-a</math> un polo del controllore molto vicino al punto -1. Con questi presupposti si [[Controllo deadbeat#metodo semplificato|dimostra]] che il controllore per ingressi a gradino si può scrivere nella forma: <math> D(z)=\frac{1}{(s-a)\tilde{G}_p(z)}\frac{1}{z^h-1}</math>
I fenomeni di ringing si verificano solitamente per periodi di campionamento troppo piccoli e possono saturare gli attuatori nel sistema reale.
 
In questo caso la variabile di attuazione può essere descritta dalla funzione di trasferimento: <math>\frac{U(z)}{V(z)}=\frac{D(z)}{1+D(z)G_p(z)}=\frac{1}{\tilde{G}_p(z)(z-a)}z^{-h}</math>.
 
Utilizzando l'espansione in fratti semplici è possibile dimostrare che il polo in -a dà un contributo alla variabile di attuazione del tipo <math>(-a)^{k}</math> cioè alternato con modulo decrescente. In altre parole si può avere una variabile di attuazione che varia in maniera molto brusca, soprattutto all'inizio, e può danneggiare gli attuatori.
 
Questo fenomeno si verifica solitamente per periodi di campionamento molto piccoli.
 
Per evitare fenomeni di ringing bisogna imporre delle condizioni sulla variabile di attuazione. A questo proposito si può mettere in relazione la variabile di attuazione con il segnale di ingresso:
 
<math>U(z)=\frac{Y(z)}{G_p(z)}=G_m(z)\frac{V(z)}{G_p(z)}</math>
 
In questo modo è possibile "scegliere" la funzione la forma desiderata per la variabile di attuazione e ricavare le costanti del polinomio <math>G_m(z)</math>.
===Metodo semplificato===
Se il plant non ha poli né zeri fuori dal cerchio unitario si può considerare un metodo semplificato per la progettazione del controllore.
 
In questo caso infatti si può sempre raggiungere la situazione ideale in cui <math>G_m(z)=z^{-k}</math>. Il sistema in questo caso si comporta a tutti gli effetti come un vero e proprio "deadbeat", un "tempo morto", poiché l'uscita segue fedelmente l'ingresso dopo k istanti di campionamento.
*C. Bonivento, C. Melchiorri, R. Zanasi, ''Sistemi di controllo digitale'', Esculapio, 1995. 8885040969
*I. D. Landau, G. Zito, ''Digital control systems'', Springer, 2006. 1846280559
{{Portale|Controlli automatici}}
 
[[Categoria:Teoria del controllo]]