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Poiché vi sono dei cicli limite, l’andamento di V deve essere di tipo oscillatorio. In sostanza il segnale di depolarizzazione è [[aleatorio]] e [[non stazionario]] ed è generato dalla depolarizzazione della membrana ad opera di un impulso elettrico che interrompe momentaneamente lo stato di equilibrio (stato di riposo) in cui si trova la cellula. Con questo modello si spiega il [[pacemaker]].
== Implementazione analogica circuitale ==
Partiamo dalle seguenti equazioni
:<math>\begin{cases} \dot v = v - w - \frac{1}{3}v^3 - V_d\\
\dot w = 0.08(v -0.8w + 0.7)\end{cases}</math>
Dove Vd rappresenta lo stimolo esterno applicato alla membrana. Trasformando secondo [[Laplace]] e supponendo <math> v(0) = w(0) = 0 </math> otteniamo:
:<math>\begin{cases} sV = V - W - \frac{1}{3}V^3 - V_d\\
sW = 0.08(V -0.8W + 0.7)\end{cases}</math>
ed ancora:
:<math>\begin{cases} V = - \frac{1}{s}[- V + W + \frac{1}{3}V^3 + V_d]\\
W = - \frac{1}{s}[0.08(-V + 0.8W - 0.7)]\end{cases}</math>
Quest'ultima rappresentazione si presta agevolmente ad una realizzazione circuitale attraverso l'uso di blocchi integratori invertenti:
[[File:FHNCircuitDiagram.png | Circuito di FitzHugh-Nagumo]]
Le equazioni corrispondenti sono:
:<math>\begin{cases} V = - \frac{1}{sC_1R_1}[- V + W + \frac{R_1}{R_5}V^3 + V_d]\\
W = - \frac{1}{sC_2R_1}[-V + \frac{R_1}{R_2}W - \frac{R_1}{R_3}V_b]\end{cases}</math>
Fissati i condensatori nel rapporto <math> \frac{C_1}{C_2} = 0.08 </math> allora poniamo:
:<math>
\begin{cases}R_1 = 100k\\\
R_2 = 125k\\
R_3 = 143k\\
R_4 = 1k\\
R_5 = 300k\\
C_1 = 10n\\
C_2 = 125n\\
V_b = -1 V
\end{cases}
</math>
Per i moltiplicatori si consiglia di usare l'integrato AD633JN facendo attenzione di impostare un guadagno d'uscita unitario. La Vb = -1 V si può facilmente ottenere con un partitore di tensione applicato alla tensione di alimentazione che necessariamente deve essere duale.
Vediamo di seguito i risultati di una simulazione SPICE del circuito sopra descritto:
[[File:Andamento della tensione di membrana V(t).PNG|Andamento della tensione di membrana V(t)]]
In simulazione è stato usato un segnale sinusoidale come forzante (Vd). Nella precedente figura si nota facilmente come il potenziale di membrana V(t) inizi ad oscillare in corrispondenza degli intervalli temporali in cui la Vd supera un determinata soglia di attivazione. Vediamo più in dettaglio l'andamento del segnale:
[[File:AndamentoV(t).PNG|Andamento della tensione di membrana V(t) in dettaglio]]
In quest'ultimo grafico osserviamo il tipico andamento temporale della dinamica slow-fast che caratterizza questi tipi di sistemi non lineari.
== Bibliografia ==
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