Programma di Erlangen: differenze tra le versioni

Per esempio il gruppo della [[geometria proiettiva]] in "n" dimesnionidimensioni è il gruppo delle simmetrie dello spazio proiettivo "n"-dimensionale (il [[Gruppo quoziente|quoziente]] del [[gruppo lineare]] di ordine "n"+1, quozientatorispetto al sottogruppo delle dalle[[Matrice scalare|matrici scalari]]). Il [[gruppo affine]] sarà il sottogruppo che mantiene (mappandolo in sé, non puntualmente) l'"[[iperpiano all'infinito]] che si è scelto.

Questo sottogruppo ha una struttura nota (il prodotto semidiretto del gruppo lineare di grado "n" con il sottogruppo delle [[Traslazione (geometria)|traslazioni]]). Questa descrizione ci dice quindi quali sono le proprietà 'affini'. In termini della [[geometria euclidea]] piana, il concetto di "[[parallelogramma]]" è affine, in quanto le [[trasformazione affine|trasformazioni affini]] mantengono questa proprietà. Il concetto di "cerchio", invece, non è affine in quanto una distorsione affine può mandare un cerchio in una ellisse.

Il gruppo euclideo risulta essere (nella precedente descrizione del gruppo affine) il prodotto semidiretto del [[gruppo ortogonale]] (rotazioni e riflessioni) con le traslazioni.