Teorema diretto dei triangoli isosceli: differenze tra le versioni
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[[File:IsoscelesTriangleProofByProclus.svg|right|thumb|195px|La dimostrazione di Proclo]]
La variante di Proclo alla dimostrazione di Euclide procede come segue:<ref>Following Proclus p. 53</ref> sia <math>ABC</math> un triangolo isoscele con <math>AB</math> e <math>AC</math> i lati uguali. Si scelga un punto arbitrario <math>D</math> sul lato <math>AB</math> e si prenda il punto <math>E</math> su <math>CA</math> in modo che <math>AD \cong AE</math>. Tracciate le linee di <math>BE</math>, <math>DC</math> e <math>DE</math> si consideri i triangoli <math>BAE</math> e <math>CAD</math>, questi triangoli hanno <math>BA \cong AC</math>, <math>AE \cong AD</math>, e l'angolo <math>\hat{A}</math> coincidente, quindi per il criterio di congruenza lato-angolo-lato i triangoli <math>BAE</math> e <math>CAD<
Dal momento che <math>AC \cong AB</math> e <math>AD \cong AE</math>, <math>BD \cong CE</math> per sottrazione di parti uguali. Si consideri ora i triangoli <math>DBE</math> e <math>ECD</math>; per essi <math>BD \cong CE</math>, <math>BE \cong CD</math>, e l'angolo <math> \widehat{D B E} </math> è uguale all'angolo <math>\widehat{ E C D} </math> come è stato appena mostrato, quindi ancora per il criterio lato-angolo-lato, i triangoli sono congruenti: l'angolo <math>\widehat{ B D E} </math> è uguale all'angolo <math>\widehat{ C E D} </math>. (La congruenza implica anche <math>DE \cong ED</math>, ma questo è evidente).
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