Permutazione: differenze tra le versioni
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=== Dimostrazione ===
Mettiamo in una tabella tutte le permutazioni semplici di $n$ oggetti in cui solo $k$ si ripetono trattandoli come diversi tra loro in modo da avere sulle righe le permutazioni delle lettere non uguali e sulle colonne le permutazioni delle lettere uguali, per tale motivo su ogni riga ci saranno le stesse permutazioni, quindi se consideriamo il prodotto righe e colonne otteniamo le permutazioni semplici, cioè
:<math>righe \times colonne=P_n</math>
Ci saranno quindi tante righe quante le permutazioni delle lettere ripetute e tante colonne quanto le permutazioni con ripetizione da trovare
:<math>k!\cdot P_{n;k}=P_n \quad \to \quad P_{n;k}=\frac{P_n}{k!}</math>
Se gli oggetti che si ripetono sono di più tipi allora eliminiamo prima gli elementi di un tipo trattando come diversi quelli di altro tipo quindi applichiamo la formula sopra, otterremo le permutazioni semplici degli oggetti compresi quelle del tipo rimanente, per cui riapplicheremo la formula ottenendo le permutazioni con ripetizione cercate, quindi in generico si ottiene la formula▼
▲Se gli oggetti che si ripetono sono di più tipi allora eliminiamo prima gli elementi di un tipo trattando come diversi quelli di altro tipo quindi applichiamo la formula sopra, otterremo le permutazioni semplici degli oggetti del tipo rimanente, per cui riapplicheremo la formula ottenendo le permutazioni con ripetizione, quindi in generico si ottiene la formula
<math>P_{n;k_1,k_2,\cdots,k_n}=\frac{P_n}{k_1!k_2!\cdots k_n!}={n \choose k_1,k_2,\cdots,k_n}</math>
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