Differenze tra le versioni di "Teorema del rotore"

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==Il teorema==
Sia <math>\gamma:[a,b]\to{\mathbb{R}}^{2}</math> una [[curva piana]] liscia a tratti tale che sia una [[curva semplice chiusa]] ([[Teorema della curva di Jordan|curva di Jordan]]),. ovveroOvvero, se <math>t</math> e <math>s</math> sono nell'intervallo <math>(a,b)</math> allora <math>\,\ \gamma(s) = \gamma(t)</math> implica <math>t = s</math>, eed essendo chiusa si ha <math>\gamma(a)=\gamma(b)</math>. SiaDetto <math> \mathbb{D}</math> il dominio di <math>{\mathbb{R}}^{2}</math>, la cui frontiera è <math>\gamma</math>, esia siainoltre <math>\psi : \mathbb{D}\to {\mathbb{R}}^{3}</math> una funzione liscia. Inoltre, sia <math>\mathbb{S}</math> l'immagine di <math>\mathbb{D}</math> tramite <math>\psi </math> e <math>\Gamma</math> una curva definita dalla relazione <math>\Gamma(t)= \psi(\gamma(t))</math>. Allora se <math>\textbf{F}</math>è un [[campo vettoriale]] su <math>\mathbb{R}^{3}</math>. si ha:
 
Denotando con <math>\mathbb{S} = \psi(D)</math> l'immagine di <math>\mathbb{D}</math> tramite <math>\psi </math> e con <math>\Gamma</math> la curva definita dalla relazione <math>\Gamma(t)= \psi(\gamma(t))</math>, il teorema stabilisce che:
 
:<math>\oint_{\Gamma} \mathbf{F}\, d\Gamma = \iint_{\mathbb{S}} \nabla\times\mathbf{F}\, d\mathbb{S} </math>
 
== Proprietà ==
Il teorema del rotore può essere consideratovisto lacome un caso particolare, che considera le superfici, del [[teorema di Stokes]]: il flusso attraverso una superficie (regolare a tratti e dotata di bordo) di un campo vettoriale <math>\mathbf G</math> esprimibile in termini di un [[potenziale vettore]] <math>\mathbf F</math> è uguale alla circuitazione di <math>\mathbf F</math> lungo il bordo della superficie. Il teorema del rotore può pertanto essere visto come una generalizzazione del [[Teorema fondamentale del calcolo infinitesimale|teorema fondamentale del calcolo integrale]], il quale afferma che:
 
: <math>\int_a^b H \ dt = L(b) - L(a)</math>
 
QuestoPer enunciato consentel'integrale di affermare[[Funzione che il flusso(matematica)|funzioni]] attraversoad una superficievariabile (regolarereale asi trattideve equindi dotatatrovare diuna bordo)<math>L</math> ditale un campo vettorialeche <math>\vecL' G= H</math>, esprimibilee inpoi terminivalutarla diagli unestremi. [[potenzialeNel vettore]]caso in esame la primitiva di <math>\vecmathbf FG</math> è uguale alla circuitazione di <math>\vecmathbf F</math>, lungocalcolata ilsulla bordofrontiera della superficie che ha il ruolo degli estremi dell'[[intervallo (matematica)|intervallo]] dell'integrale definito.
 
Per le [[Funzione (matematica)|funzioni]] ad una variabile reale si deve trovare una ''L'' tale che <math>L' = H</math> per poi valutarla agli estremi. In questo caso la primitiva di <math>\vec G</math> è proprio <math>\vec F</math>, calcolata sulla frontiera della superficie che ha il ruolo degli estremi dell'[[intervallo (matematica)|intervallo]] dell'integrale definito.
Da notare anche come il teorema del rotore consenta di ottenere una condizione equivalente alla [[campo vettoriale conservativo|conservatività]] di un campo vettoriale. LaSe la circuitazione nulla del campo è nulla, infatti, ad essa corrisponde ad un flusso nullo del rotore euguale quindia zero, datae l'arbitrarietà della superficie,quindi proprio alla condizione di irrotazionalità del campo stesso (<math> \vec {\nabla} \times \vec F = 0</math>).:
 
:<math> \mathbf {\nabla} \times \mathbf F = 0</math>
Da notare anche come il teorema del rotore consenta di ottenere una condizione equivalente alla [[campo vettoriale conservativo|conservatività]] di un campo vettoriale. La circuitazione nulla del campo, infatti, corrisponde ad un flusso nullo del rotore e quindi, data l'arbitrarietà della superficie, proprio alla condizione di irrotazionalità del campo stesso (<math> \vec {\nabla} \times \vec F = 0</math>).
 
grazie all'arbitrarietà della superficie.
Il teorema del rotore può essere visto come un caso particolare, per le superfici, del teorema di Stokes.
 
== Voci correlate ==
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