Differenze tra le versioni di "Teorema del rotore"

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Sia data una funzione <math>\mathbf{P}(u,v) = (P_1(u,v), P_2(u,v))</math> a valori in <math>\R^2</math> tale che <math>P</math> è il pull-back di <math>\mathbf F</math>. Per fare ciò si definiscono <math>P_1</math> e <math>P_2</math> come:
 
:<math>P_1(u,v)=\left\langle \mathbf{F}(\psi(u,v)) \bigg| \frac{\partial \psi}{\partial u} \right\rangle, \qquad P_2(u,v)=\left\langle \mathbf{F}(\psi(u,v)) \bigg| \frac{\partial \psi}{\partial v} \right\rangle </math>
 
dove <math>\langle \ |\ \rangle</math> è il [[forma sesquilineare|prodotto interno]] in <math>\R^2</math> mentre nel seguito <math>\langle \ |A|\ \rangle</math> è una [[forma bilineare]] [[matrice di trasformazione|rappresentata]] dalla matrice <math>A</math>.
:<math>= \left\langle (J\mathbf{F})_{\psi(u,v)}\cdot \frac{\partial \psi}{\partial v} \bigg |\frac{\partial \psi}{\partial u} \right\rangle - \left\langle (J\mathbf{F})_{\psi(u,v)}\cdot \frac{\partial \psi}{\partial u} \bigg|\frac{\partial \psi}{\partial v} \right\rangle = \left\langle \frac{\partial \psi}{\partial u} \bigg|(J\mathbf{F})_{\psi(u,v)} \bigg| \frac{\partial \psi}{\partial v} \right\rangle - \left\langle \frac{\partial \psi}{\partial u} \bigg |{}^{t}(J\mathbf{F})_{\psi(u,v)} \bigg| \frac{\partial \psi}{\partial v} \right\rangle =</math>
 
:<math>= \left\langle \frac{\partial \psi}{\partial u}\bigg |(J\mathbf{F})_{\psi(u,v)} - {}^{t}{(J\mathbf{F})}_{\psi(u,v)} \bigg| \frac{\partial \psi}{\partial v} \right\rangle = \left\langle \frac{\partial \psi}{\partial u}\bigg |\left ((J\mathbf{F})_{\psi(u,v)} - {}^{t} (J\mathbf{F})_{\psi(u,v)} \right )\cdot \frac{\partial \psi}{\partial v} \right\rangle =</math>
 
Dato che:
:<math>= \left\langle \frac{\partial \psi}{\partial u}\bigg |(\nabla\times\mathbf{F})\times\frac{\partial \psi}{\partial v} \right\rangle \ \left ( (J\mathbf{F})_{\psi(u,v)} - {}^{t} (J\mathbf{F})_{\psi(u,v)} \right ) \cdot \mathbf{x} = (\nabla\times\mathbf{F})\times \mathbf{x} =</math>
 
:<math>=\det \left [( (\nabla\timesJ\mathbf{F})(_{\psi(u,v))} \quad- \frac{\partial\psi}^{\partialt} u(J\mathbf{F})_{\psi(u,v)} \quadright ) \fraccdot \mathbf{x} = (\partialnabla\psi}times\mathbf{\partial vF}(u,v) \righttimes ]\mathbf{x} </math>
 
l'ultimo termine nella precedente relazione è uguale a:
 
:<math>= \left\langle \frac{\partial \psi}{\partial u}\bigg |(\nabla\times\mathbf{F})\times\frac{\partial \psi}{\partial v} \right\rangle =\det \left ([ (J\nabla\times\mathbf{F})_{(\psi(u,v)}) -\quad \frac{\partial\psi}^{t}\partial (J\mathbf{Fu})_{\psi(u,v)} \right )quad \cdot \mathbffrac{x} = (\nablapartial\times\mathbfpsi}{F\partial v}(u,v)\times \mathbf{x}right ] =</math>
 
D'altra parte, dalla definizione di [[integrale di superficie]]:
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