Differenze tra le versioni di "Teorema del rotore"

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In [[matematica]], il '''teorema del rotore''', anche detto '''teorema di Kelvin''' o '''teorema di Kelvin-Stokes''', il cui nome è dovuto a [[Lord Kelvin]] e [[George Stokes]], afferma che il [[flusso]] del [[rotore (matematica)|rotore]] di determinati [[campo vettoriale|campi vettoriali]] attraverso [[superficie (matematica)|superfici]] regolari dotate di [[frontiera (topologia)|bordo]] è uguale alla [[circuitazione]] del campo lungo la frontiera della superficie. Si tratta pertanto di un caso particolare del [[teorema di Stokes]].
 
Il [[teorema di Green]] è un caso speciale del teorema del rotore che considera superfici appartenenti a <math>\mathbb{R}^2</math>.
 
==Il teorema==
Sia <math>\gamma:[a,b]\to{ \mathbb{R}}^{2}</math> una [[curva piana]] liscia a tratti tale che sia una [[Curva (matematica)|curva semplice chiusa]] ([[Teorema della curva di Jordan|curva di Jordan]]). Ovvero, se <math>t</math> e <math>s</math> sono nell'intervallo <math>(a,b)</math> allora <math>\,\ \gamma(s) = \gamma(t)</math> implica <math>t = s</math>, ed essendo chiusa si ha <math>\gamma(a)=\gamma(b)</math>. Detto <math> \mathbb{D}</math> il dominio di <math>{\mathbb{R}}^{2}</math> la cui frontiera è <math>\gamma</math>, sia inoltre <math>\psi : \mathbb{D}\to {\mathbb{R}}^{3}</math> una [[funzione liscia]] e <math>\textbf{F}</math> un [[campo vettoriale]] su <math>\mathbb{R}^{3}</math>.
 
Denotando con <math>\mathbb{S} = \psi(D)</math> l'immagine di <math>\mathbb{D}</math> tramite <math>\psi </math> e con <math>\Gamma</math> la curva definita dalla relazione <math>\Gamma(t)= \psi(\gamma(t))</math>, il teorema stabilisce che:
 
:<math>\oint_{\Gamma} \mathbf{F}\, d\Gamma = \iint_{\mathbb{S}} \nabla\times\mathbf{F}\, d\mathbb{S} </math>
 
Il termine a sinistra è l'[[integrale di linea]] di <math>\mathbf{F} </math> lungo <math>\Gamma</math> ed il termine a destra è l'[[integrale di superficie]] del [[Rotore (matematica)|rotore]] <math>\nabla\times\mathbf{F}</math> di <math>\mathbf{F} </math>.
 
Il teorema è un caso particolare, che si limita a considerare le superfici, del fondamentale [[teorema di Stokes]]: il flusso attraverso una superficie (regolare a tratti e dotata di bordo) di un campo vettoriale <math>\mathbf G</math> esprimibile in termini di un [[potenziale vettore]] <math>\mathbf F</math> è uguale alla circuitazione di <math>\mathbf F</math> lungo il bordo della superficie. Il teorema del rotore può pertanto essere visto come una generalizzazione del [[Teorema fondamentale del calcolo infinitesimale|teorema fondamentale del calcolo integrale]], il quale afferma che:
 
: <math>\int_a^b H \ dt = L(b) - L(a)</math>
 
==Dimostrazione==
Sia data una funzione <math>\mathbf{P}(u,v) = (P_1(u,v), P_2(u,v))</math> a valori in <math>\R^2</math> tale che <math> \mathbf P</math> è il [[pull-back]] di un campo <math>\mathbf F</math>. Per fare ciò si definiscono <math>P_1</math> e <math>P_2</math> come:
 
:<math>P_1(u,v)=\left\langle \mathbf{F}(\psi(u,v)) \bigg| \frac{\partial \psi}{\partial u} \right\rangle \qquad P_2(u,v)=\left\langle \mathbf{F}(\psi(u,v)) \bigg| \frac{\partial \psi}{\partial v} \right\rangle </math>
 
dove <math>\langle \ |\ \rangle</math> è il [[forma sesquilineare|prodotto interno]] in <math>\R^2</math> mentre nel seguito <math>\langle \ |A|\ \rangle</math> è una [[forma bilineare]] [[matrice di trasformazione|rappresentata]] dalla matrice <math>A</math>.
 
Dalla definizione di [[integrale di linea]]:
\end{align}</math>
 
dove <math>J\psi</math> è la [[matrice jacobiana]] di <math>\psi</math>, e <math>\gamma</math> è la frontiera del dominio <math>D</math> di <math>\psi</math>. Quindi si ha:
 
:<math>\left\langle (\mathbf{F}\circ \Gamma(t))\bigg|(J\psi)_{\gamma(t)}\frac{d\gamma}{dt}(t) \right\rangle = \left\langle (\mathbf{F}\circ \Gamma (t))\bigg|(J\psi)_{\gamma(t)} \bigg|\frac{d\gamma}{dt}(t) \right\rangle =</math>
:<math> \iint_S (\nabla\times\mathbf{F}) dS =\iint_{D} \left( \frac{\partial P_2}{\partial u} - \frac{\partial P_1}{\partial v} \right) dudv </math>
 
Considerando il [[teorema di Green]], dai risultati ottenutimostrati segue la tesi.
 
==Bibliografia==
 
== Voci correlate ==
* [[TeoremaCampo divettoriale Greenconservativo]]
* [[Flusso]]
* [[Teorema fondamentale del calcolo integrale]]
* [[Integrale di superficie]]
* [[Rotore (matematica)]]
* [[Teorema della divergenza]]
* [[Teorema di Stokes]]
* [[Teorema di Green]]
* [[Teorema fondamentale del calcolo integrale]]
 
==Collegamenti esterni==
39 163

contributi