Operatore di Laplace: differenze tra le versioni
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Viene impiegato, ad esempio, per [[modello matematico|modellare]] la [[equazione delle onde|propagazione ondosa]] ed [[equazione del calore|il flusso del calore]], comparendo nell'[[equazione di Helmholtz]]. Riveste un ruolo centrale anche in [[elettrostatica]], dove è utilizzato nell'[[equazione di Laplace]] e nell'[[equazione di Poisson]]. In [[meccanica quantistica]] rappresenta l'osservabile energia cinetica ed è presente nell'[[equazione di Schrödinger]]. In [[idraulica]] viene utilizzato per ricavare l'espressione della [[cadente piezometrica]] in funzione delle caratteristiche di una corrente intubata nel regime laminare. Infine, l'operatore di Laplace si trova al centro della [[teoria di Hodge]] e dei risultati della [[coomologia di De Rham]].
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Il modo più significativo per denotare l'operatore di Laplace si avvale dell'operatore differenziale vettoriale [[nabla]] elevato al quadrato. Data una funzione <math>f</math> in uno [[spazio euclideo]], l'operatore di Laplace applicato a <math>f</math> è la [[divergenza]] <math>\nabla\cdot</math> del [[gradiente]] <math>\nabla f</math> di <math>f</math>:
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Questa rappresentazione è molto importante perché consente il metodo della separazione della variabili, nell'[[equazione differenziale alle derivate parziali]], che si deve calcolare per risolvere l'[[equazione di Schrödinger]], per il caso appunto di una particella che si muove sulla superficie di una [[sfera]].
=== Operatore di Laplace–Beltrami e generalizzazioni ===
{{vedi anche|Operatore di Laplace–Beltrami}}
Il laplaciano può essere generalizzato ad un operatore ellittico definito su una [[varietà riemanniana]] e chiamato operatore di Laplace–Beltrami, mentre l'[[operatore di d'Alembert]] si generalizza ad un [[Equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica|operatore iperbolico]] definito su una [[varietà pseudo-riemanniana]]. L'operatore di Laplace–Beltrami applicato ad una funzione è la traccia della relativa [[matrice hessiana]]:
:<math>\Delta f = \mathrm{tr}(H(f))</math>
dove la traccia è calcolata rispetto all'inversa del [[tensore metrico]]. Questo operatore può essere anche generalizzato al caso di [[tensore|campi tensoriali]] con una formula simile.
Un'altra possibile generalizzazione dell'operatore di Laplace su varietà pseudo-riemanniane fa uso della [[derivata esterna]], attraverso la quale il laplaciano assume la forma:
:<math> \Delta f = d^* d f</math>
dove <math>d^*</math> è il [[duale di Hodge|codifferenziale]]. Si nota che rispetto alla definizione data in precedenza c'è la differenza di segno.
In generale, il laplaciano è esteso alle [[forma differenziale|forme differenziali]] <math>\alpha</math> per mezzo dell'''operatore di Laplace–de Rham'':
:<math>\Delta \alpha = d^* d\alpha + dd^*\alpha</math>
che si relaziona all'operatore di Laplace–Beltram attraverso l'[[identità di Weitzenböck]].
== Proprietà di base ==
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