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== Definizione ==
La nozione di spazio affine può essere definita in molti modi equivalenti. Una possibile definizione è la seguente.<ref>{{Cita libro | autore=Edoardo Sernesi| titolo=Geometria 1 | editore=Bollati Boringhieri | anno=1989 | pagine=''' p. 93''' }}</ref>
 
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: white; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
Uno spazio affine <math> A</math> è un insieme di elementi chiamati ''punti affini'' (o semplicemente ''punti'') dotato di una funzione
:<math> \phi: A \times A \to V\,\! </math>
# per ogni terna di punti <math> P </math>, <math>Q</math>, <math>R</math> vale la relazione
#:<math>\phi(P,Q) + \phi(Q,R) = \phi(P,R).</math>
 
</div>
L'[[immagine (matematica)|immagine]] <math>\phi(P,Q) </math> è chiamata ''vettore applicato'' da <math>P</math> in <math>Q</math> ed è indicata generalmente con il simbolo seguente<math> \overrightarrow {PQ} </math> o, più brevemente, con <math> Q-P </math>.
:<math> \overrightarrow {PQ} </math>
o, più brevemente, con <math> Q-P </math>.
 
=== Definizione alternativa ===
La definizione seguente è equivalente alla precedente.<ref>{{Cita libro | autore=Edoardo Sernesi| titolo=Geometria 1 | editore=Bollati Boringhieri | anno=1989 | pagine=''' p. 102''' }}</ref>
 
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: white; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
Uno spazio affine <math>A</math> è un insieme dotato di una funzione
:<math>f:A\times V \to A\,\! </math>
tale che
 
# per ogni punto ''<math>P''</math> fissato, l'[[funzione (matematica)|applicazione]] che associa al vettore <math>v</math> il punto <math>P+v</math> è una biiezione da <math>V</math> in <math>A</math>;
# per ogni punto <math> P</math> in <math>A</math> e ogni coppia di vettori <math>v, w </math> in <math>V</math> vale la relazione
#:<math>(P+v)+w = P+(v+w).</math>
 
</div>
Le due definizioni sono collegate dalla relazione
:<math>P + \overrightarrow {PQ} = Q.</math>
Due elementi di questa relazione determinano il terzo. Ad esempio, ''<math>Q''</math> è il punto raggiunto applicando il vettore <math>\overrightarrow {PQ}</math> a ''<math>P''</math>, mentre <math>\overrightarrow{PQ}</math> è l'unico vettore che "collega" i due punti ''<math>P''</math> e ''<math>Q''</math>.
 
== Esempi ==
== Sottospazi affini ==
{{vedi anche|Sottospazio affine}}
Un '''sottospazio affine''' <math>S</math> di <math>A</math> è un sottoinsieme del tipo
=== Definizione ===
Un '''sottospazio affine''' <math>S</math> di <math>A</math> è un sottoinsieme del tipo
:<math>S = P + W = \{P + w \ |\ w \in W\} </math>
dove <math> P</math> è un punto fissato di <math>A</math> e <math>W</math> è un [[sottospazio vettoriale]] di <math>V</math>.
 
=== Giacitura ===
Lo stesso sottospazio può essere definito in varie forme diverse come <math>S=P+W</math>. In tutte queste rappresentazioni, <math>P</math> può variare (può essere un punto qualsiasi di <math>S</math>, a conferma che in geometria affine non ci sono "punti privilegiati"), ma <math>W</math> risulta essere sempre lo stesso: questo sottospazio di <math>V</math> è chiamato '''giacitura''' di <math>S</math>. La giacitura è definita intrinsecamente come
:<math>W = \{\overrightarrow {PQ}\ |\ P,Q\in S \}.</math>
 
=== Relazioni ===
Due sottospazi affini sono detti:
* '''incidenti''' quando hanno intersezione non vuota,
* '''paralleli''' quando una delle due giaciture è contenuta nell'altra,
* '''sghembi''' quando l'intersezione è vuota e le due giaciture si intersecano solo nell'origine,
* esiste un altro caso che si presenta solo in spazi affini di dimensione 4 o superiore, ovvero quando i due sottospazi hanno intersezione vuota, nessuna delle due giaciture è contenuta nell'altra ma queste si intersecano in un sottospazio più grande dell'origine.
 
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