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== Definizione ==
Sotto l'ipotesi che un campo vettoriale <math>\mathbf F</math> sia [[Classe C di una funzione|di classe]] <math>C^1</math>, il rotore <math>\nabla \times \mathbf F</math> di <math>\mathbf F</math> è definito in ogni punto attraverso la sua [[Proiezione (geometria)|proiezione]] su un [[versore]] <math>\mathbf{\hat{n}}</math> posto nel punto: si tratta del valore dell'[[integrale di linea]] <math>\scriptstyle\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}</math> del campo in un piano ortogonale a <math>\mathbf{\hat{n}}</math> nel limite in cui la curva <math>C</math> di integrazione si riduce ad un punto, divisocioè pernel limite in cui l'area <math>|A|</math> della superficie delimitata dallada curva (che<math>C</math> tende quindi ad annullarsi), diviso per l'area <math>|A|</math>. Questo si esprime col [[prodotto scalare]]:
 
:<math>(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{\hat{n}} \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lim_{A \to 0}\left( \frac{1}{|A|}\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\right)</math>
Si tratta di una scrittura del [[teorema del rotore]], e si può interpretare tale prodotto scalare tra <math>\nabla \times \mathbf F</math> ed un vettore unitario <math>\mathbf n</math> di <math>\R^3</math> come densità superficiale di circuitazione del campo <math>\mathbf F</math> attorno alla direzione <math>\mathbf{\hat{n}}</math>.
 
===Coordinate ortogonali===
In [[coordinate cartesiane]], il rotore di un campo vettoriale <math>\mathbf F = (F_x,F_y,F_z)</math> è il campo vettoriale <math>\nabla \times \mathbf F</math> definito da:
 
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {(\nabla \times \mathbf F)_x} \\ \\ {(\nabla \times \mathbf F)_y} \\ \\ {(\nabla \times \mathbf F)_z} \end{pmatrix}.</math>
 
Un semplice modo per calcolare il rotore è quello di scrivere, con un [[abuso di notazione]], il [[determinante]] formale della seguente matrice:
Una notazione alternativa per il rotore (spesso utilizzata da fisici e ingegneri) è <math>\nabla \times \mathbf F</math>.
 
Un semplice modo per calcolare il rotore è quello di scrivere con un [[abuso di notazione]] il [[determinante]] formale della seguente matrice:
 
:<math>\det\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \\
\\ F_x & F_y & F_z \end{pmatrix} = \mathbf{i} \left (\frac {\partial F_z}{\partial y} - \frac {\partial F_y}{\partial z} \right ) + \mathbf{j} \left (\frac {\partial F_x}{\partial z} - \frac {\partial F_z}{\partial x} \right) + \mathbf{k} \left (\frac {\partial F_y}{\partial x} - \frac {\partial F_x}{\partial y} \right)</math>
 
Dove <math>\mathbf i</math>, <math>\mathbf j</math>, e <math>\mathbf k</math> sono i [[versori]] degli assi. Nella [[notazione di Einstein]] utilizzando i [[Simbolo di Levi-Civita|simboli sviluppati]] da [[Tullio Levi-Civita|Levi-Civita]], il rotore viene scritto come:
Dove '''i''', '''j''', e '''k''' sono i [[versori]] degli assi x, y, e z.
 
Nella [[notazione di Einstein]] utilizzando i [[Simbolo di Levi-Civita|simboli sviluppati]] da [[Tullio Levi-Civita|Levi-Civita]], il rotore viene scritto come:
 
:<math>(\nabla \times \mathbf F)_k = \epsilon_{klm} \partial_l F_m</math>
 
===Coordinate cilindriche===
 
InDato <math>\R^3</math>un possiamo introdurre altri [[Sistemasistema di riferimento|sistemi di riferimento]] come quello dellein coordinate cilindriche:
 
:<math>\begin{cases} x = \rho \cos \phi \\ y = \rho \, \mathrm{sen} \, \phi \\ z = z \end{cases}</math>
 
Allora se il campo vettoriale <math>\mathbf F</math> ha componenti: <math>\mathbf F(\rho,\phi,z) = \mathbf{e}_{\rho} \ F_{\rho} + \mathbf{e}_{\phi} \ F_{\phi} + \mathbf{e}_{z} \ F_{z} </math>, il suo rotore in coordinate cilindriche è dato da:
 
:<math>\nabla \times \mathbf F = </math>
 
== Rotore come derivata esterna ==
{{vedi anche|Derivata esterna}}
 
Ad un campo vettoriale <math>\mathbf F = (F_x,F_y,F_z)</math> nello spazio possiamo associare una corrispondente [[forme differenziali|1-forma]] differenziale
 
+\left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) dx \wedge dy</math>
 
::<math>= (\nabla \times \mathbf F)_x dy \wedge dz + (\nabla \times \mathbf F)_y dz \wedge dx + (\nabla \times \mathbf F)_z dx \wedge dy</math>
 
::<math>= (\nabla \times \mathbf F)_x dy \wedge dz + (\nabla \times \mathbf F)_y dz \wedge dx + (\nabla \times \mathbf F)_z dx \wedge dy</math>
 
==Proprietà==
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