Rotore (matematica): differenze tra le versioni

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==Esempi==
ConsideriamoSi consideri il seguente [[campo vettoriale]], che dipende da ''x'' e da ''y'' linearmente:
===Equazioni note===
Nella terza [[equazioni di Maxwell|equazione di Maxwell]], espressione locale della [[legge di Faraday-Neumann-Lenz]], il rotore del [[campo elettrico]] è uguale e opposto al [[derivata|tasso di variazione]] della [[campo magnetico|densità di flusso magnetico]]:
 
:<math>\nabla \times \mathbf E {F}(x,y,z)= - y\frac boldsymbol{\partial \mathbf Bhat{x} }-x\boldsymbol{\partial that{y}}.</math>
 
DiagrammandoloLa sua rappresentazione nel piano cartesiano abbiamoè:
In condizioni stazionarie, cioè se i campi non variano nel tempo, otteniamo la [[campo vettoriale conservativo|conservatività]] del campo elettrico:
 
[[Immagine:Uniform curl.svg|center|250px]]
:<math>\nabla \times \mathbf E = 0</math>
 
Già dallaDalla semplice ispezione visiva, possiamosi notarenota che il campo "sta ruotando.", ed Usandousando la [[regola della mano destra]], cisi aspettiamo cheottiene il verso del rotore, siache è entrante verso lanella pagina. Usando un sistema di coordinate cartesiane standard, ciò corrisponde alla direzione delle z negative. LaInfatti, mancanzacalcolando delle componenti x e y in questoil rotore èsecondo analogala a quanto avviene nel prodotto vettoriale.definizione:
Inoltre nella quarta [[equazioni di Maxwell|equazione di Maxwell]], espressione locale della [[legge di Ampère|legge di Ampère-Maxwell]], il rotore del campo magnetico è:
 
:<math>\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} H = 0\mathbf J boldsymbol{\hat{x}}+0\boldsymbol{\hat{y}}+ \left[{\frac {\partial }{\mathbfpartial Dx}}(-x) -{\frac{\partial}{\partial ty}} y\right]\boldsymbol{\hat{z}}=-2\boldsymbol{\hat{z}}</math>
</math>
 
In questo caso il rotore è uguale in tutto lo spazio, indipendentemente dal punto che si considera, e quindi l'entità della rotazione nel campo vettoriale considerato è la stessa ovunque. La sua semplice rappresentazione nel piano cartesiano è pertanto:
che, in condizioni magnetostatiche, diventa:
 
[[Immagine:Curl of uniform curl.JPG|center]]
:<math>\nabla \times \mathbf H = \mathbf J</math>
 
===Equazioni notedi Maxwell===
===Un semplice campo vettoriale===
Nella terza [[equazioni di Maxwell|equazione di Maxwell]], espressione locale della [[legge di Faraday-Neumann-Lenz]], il rotore del [[campo elettrico]] è uguale e opposto al [[derivata|tasso di variazione]] della [[campo magnetico|densità di flusso magnetico]]:
Consideriamo il seguente [[campo vettoriale]], che dipende da ''x'' e da ''y'' linearmente:
 
:<math>\nabla \times \mathbf{F}(x,y,z) E =y - \boldsymbolfrac {\hat{xpartial \mathbf B}}-x\boldsymbol {\hat{y}partial t}.</math>
 
In condizioni stazionarie, cioè se i campi non variano nel tempo, otteniamosi ottiene la [[campo vettoriale conservativo|conservatività]] del campo elettrico:
Diagrammandolo nel piano cartesiano abbiamo:
 
:<math>\nabla \times \mathbf E = 0</math>
[[Immagine:Uniform curl.svg|center|250px]]
 
Inoltre, nella quarta [[equazioni di Maxwell|equazione di Maxwell]], espressione locale della [[legge di Ampère|legge di Ampère-Maxwell]], il rotore del campo magnetico è:
Già dalla semplice ispezione visiva, possiamo notare che il campo sta ruotando. Usando la [[regola della mano destra]], ci aspettiamo che il rotore sia entrante verso la pagina. Usando un sistema di coordinate cartesiane standard, ciò corrisponde alla direzione delle z negative. La mancanza delle componenti x e y in questo rotore è analoga a quanto avviene nel prodotto vettoriale.
 
:<math>\nabla \times \mathbf H = \mathbf J + \frac {\partial \mathbf D} {\partial t}</math>
Calcolando il rotore secondo la definizione, otteniamo
 
che, in condizioni magnetostatiche,statiche diventa:
:<math>\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} =0\boldsymbol{\hat{x}}+0\boldsymbol{\hat{y}}+ \left[{\frac{\partial}{\partial x}}(-x) -{\frac{\partial}{\partial y}} y\right]\boldsymbol{\hat{z}}=-2\boldsymbol{\hat{z}}
</math>
 
:<math>\nabla \times \mathbf H = \mathbf J</math>
Ciò corrisponde effettivamente ad un vettore orientato nel verso opposto all'asse z, come previsto. In questo caso il rotore è costante nello spazio, indipendentemente dal punto che consideriamo. La "quantità" di rotazione nel campo vettoriale considerato è la stessa in ogni punto (x,y). Il diagramma del rotore di F risulta quindi banalmente:
 
[[Immagine:Curl of uniform curl.JPG|center]]
 
===Campo magnetico generato da un filo percorso da corrente===