Equazioni di Hamilton: differenze tra le versioni
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Le equazioni di Hamilton sono un sistema di [[equazione differenziale|equazioni differenziali]] che forniscono l'evoluzione temporale del sistema, e sono generalmente scritte nel seguente modo:<ref>Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0</ref><ref>The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1</ref>
:<math> \dot
dove <math> p_j = p_j(t)</math> e <math> q_j = q_j(t) </math> sono le [[coordinate generalizzate]] e i [[quantità di moto|rispettivi momenti]], <math> \mathcal{H} = \mathcal{H} (p(t),q(t),t)</math> è la [[funzione scalare]] hamiltoniana, ed il punto denota la [[derivata]] temporale.
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da cui:
:<math>\mathrm d(\dot qp-\mathcal{L})=-\dot p \mathrm dq+\dot q \mathrm dp-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm dt
La lagrangiana viene così trasformata in un'altra equazione dipendente esplicitamente dalla sua derivata rispetto a <math>q</math>, cioè da <math>p</math>.
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si ottengono le equazioni di Hamilton:
:<math> \dot{q} = \frac{\partial \mathcal H}{\partial p} \qquad \dot{p} = - \frac{\partial \mathcal H}{\partial q}</math>
▲:<math> \dot{p} = - \frac{\partial \mathcal H}{\partial q}</math>
e si procede analogamente nel caso di ''n'' coordinate lagrangiane.
Se una coordinata è [[Coordinata ciclica|ciclica]] per la Lagrangiana, allora essa è ciclica anche per l'Hamiltoniana, mentre se il sistema è isolato (l'Hamiltoniana non dipende esplicitamente dal tempo, e quindi se <math>L</math> non dipende esplicitamente dal tempo) allora <math>\mathcal H</math> stessa è una costante del moto. Si deve notare che in tale procedura <math>\mathcal H</math> non rappresenta necessariamente l'energia del sistema.
==Equazioni di \mathcal Hamilton e principio variazionale==
{{Vedi anche|Principio variazionale di
▲Anche le equazioni di \mathcal Hamilton si possono ricavare da un principio variazionale. In tal caso il [[principio variazionale di \mathcal Hamilton]] si scrive:
:<math>\delta I = \delta \int_{t_1}^{t_2} \left(\sum_{i=1}^{n} \dot q_i \, p_i - \mathcal H(q,p,t) \right) \, dt = 0</math>
ed è definito nello [[spazio delle fasi]]. Il principio ci dice che il punto rappresentativo del moto nello spazio delle fasi tra <math>t_1, t_2</math> deve soddisfare il principio di
==Note==
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* {{en}} William Fogg Osgood [http://www.archive.org/details/mechanics032869mbp Mechanics] (MacMillan, 1937)
* {{en}} Arthur Gordon Webster [http://name.umdl.umich.edu/ACA9105.0001.001 The dynamics of particles and of rigid, elastic, and fluid bodies. Being lectures on mathematical physics] (Teubner, 1904)
==Collegamenti esterni==▼
* {{en}} Rychlik, Marek, "''[http://alamos.math.arizona.edu/~rychlik/557-dir/mechanics/ Lagrangian and Hamiltonian mechanics -- A short introduction]''"▼
* {{en}} Binney, James, "''[http://www-thphys.physics.ox.ac.uk/users/JamesBinney/CMech_notes.ps Classical Mechanics]''" ([[PostScript]]) [http://www-thphys.physics.ox.ac.uk/users/JamesBinney/cmech.pdf lecture notes] ([[Portable Document Format|PDF]])▼
* {{en}} Tong, David, [http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics.html Classical Dynamics] (Cambridge lecture notes)▼
* {{Thesaurus BNCF}}▼
==Voci correlate==
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*[[Principio variazionale di Hamilton]]
*[[Teoria di Hamilton-Jacobi]]
▲==Collegamenti esterni==
▲* {{en}} Rychlik, Marek, "''[http://alamos.math.arizona.edu/~rychlik/557-dir/mechanics/ Lagrangian and Hamiltonian mechanics -- A short introduction]''"
▲* {{en}} Binney, James, "''[http://www-thphys.physics.ox.ac.uk/users/JamesBinney/CMech_notes.ps Classical Mechanics]''" ([[PostScript]]) [http://www-thphys.physics.ox.ac.uk/users/JamesBinney/cmech.pdf lecture notes] ([[Portable Document Format|PDF]])
▲* {{en}} Tong, David, [http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics.html Classical Dynamics] (Cambridge lecture notes)
▲* {{Thesaurus BNCF}}
{{Portale|Meccanica}}
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