Teorema integrale di Cauchy: differenze tra le versioni

:dove '''E''' è la regione interna a <math>\gamma</math>. Infatti poiché <math>f(z)</math> è olomorfa, valgono le equazioni di Cauchy - Riemann:

 

 

che annullano gli integrandi, da cui la tesi.

:<math>f(z) \ dz = \left [u(x,y) \ dx - v(x,y) \ dy \right ] + i \cdot \left [v(x,y) \ dx + u(x,y) \ dy \right]</math>

 

 

Il teorema continua a valere per domini in cui la curva <math>\gamma</math> sia il contorno del dominio semplicemente connesso. Inoltre se il dominio non è semplicemente connesso (si veda generalizzazione sotto) ma è costituito da curve regolari a tratti il teorema continua a valere ma bisogna dare un'orientazione al verso di percorrenza, per convenzione il dominio deve rimanere sempre a sinistra mentre si percorrono le curve.