Rotore (matematica): differenze tra le versioni
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:<math>(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{\hat{n}} \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lim_{A \to 0}\left( \frac{1}{|A|}\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\right)</math>
Si tratta di una scrittura del [[teorema del rotore]], e si può interpretare il prodotto scalare tra <math>\nabla \times \mathbf F</math> ed il vettore unitario <math>\mathbf n</math> come densità superficiale di circuitazione del campo <math>\mathbf F</math> attorno alla direzione <math>\mathbf{\hat{n}}</math>.
In un sistema di riferimento con [[coordinate curvilinee]] ortogonali <math>(u_1,u_2,u_3)</math>, come le [[coordinate cartesiane]], [[coordinate sferiche|sferiche]], [[coordinate cilindriche|cilindriche]], [[coordinate ellittiche|ellittiche]] o [[Coordinate parabolico cilindriche|paraboliche]], il rotore di <math>\mathbf F = (F_1,F_2,F_3)</math> è dato da:
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dove se, ad esempio, <math>(x_1,x_2,x_3)</math> sono le [[coordinate cartesiane]] si ha:
:<math>a_i = \sqrt{\sum \limits_{j = 1}^{3}\left (\frac{\partial x_j}{\partial u_i}\right )^2}</math>
Le restanti due componenti del rotore si ottengono dalla [[permutazione cilindrica]] degli indici: 3,1,2 → 1,2,3 → 2,3,1.
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dove <math>\scriptstyle\flat </math> e <math>\scriptstyle\sharp </math> sono [[isomorfismo musicale|isomorfismi musicali]] e <math>\scriptstyle\star </math> è il [[duale di Hodge]].
Quest'ultima formulazione è valida in un sistema di coordinate generico, e consente di estendere il rotore a [[varietà riemanniana|varietà riemanniane]] orientate. Dato che dipende dall'[[orientazione]] della varietà, il rotore è un
===Coordinate cartesiane===
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===Coordinate cilindriche===
Dato invece un sistema di riferimento in coordinate cilindriche <math>( x = \rho \cos \phi, y = \rho \sin \phi, z = z )</math>, il rotore di <math>\mathbf F(\rho,\phi,z) = \mathbf{e}_{\rho} \ F_{\rho} + \mathbf{e}_{\phi} \ F_{\phi} + \mathbf{e}_{z} \ F_{z} </math> è dato da:
:<math>\nabla \times \mathbf F = \mathbf{e}_{\rho} \ \left (\frac {1}{\rho} \frac {\partial F_{z}}{\partial \phi} - \frac {\partial F_{\phi}}{\partial z} \right ) + \mathbf{e}_{\phi} \ \left (\frac {\partial F_{\rho}}{\partial z} - \frac {\partial F_z}{\partial \rho} \right) + \mathbf{e}_z \ \frac {1}{\rho} \left (\frac {\partial (\rho F_{\phi})}{\partial \rho} - \frac {\partial F_{\rho}}{\partial \phi} \right) </math>
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La sua rappresentazione nel piano cartesiano è:
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Dalla semplice ispezione visiva si nota che il campo "sta ruotando", ed usando la [[regola della mano destra]] si ottiene il verso del rotore, che è entrante nella pagina. Usando un sistema di coordinate cartesiane standard, ciò corrisponde alla direzione delle z negative. Infatti, calcolando il rotore secondo la definizione:
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In questo caso il rotore è uguale in tutto lo spazio, indipendentemente dal punto che si considera, e quindi l'entità della rotazione nel campo vettoriale considerato è la stessa ovunque. La sua semplice rappresentazione nel piano cartesiano è pertanto:
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===Equazioni di Maxwell===
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