Differenze tra le versioni di "Quadricorrente"

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La quadricorrente è un [[quadrivettore]] definito come
 
:<math>\rho vJ^\alphaa = \rho \left(c \rho, \mathbf{vj} \right) = \rho \left(c \rho, v_xj^1 , v_yj^2 , v_zj^3 \right) </math>
 
dove <math>c</math> è la [[velocità della luce]], <math>\rho</math> la [[densità di carica]] elettrica e il suo prodotto per la velocità <math>\rho \mathbf{vj}</math> la [[densità di corrente]], mentre <math>\alphaa</math> denota le dimensioni [[spaziotempo|spaziotemporali]].
 
La quadricorrente può essere espressa in funzione della [[quadrivelocità]] <math>vU^\alpha</math> come:<ref>Roald K. Wangsness, Electromagnetic Fields, 2nd edition (1986), p. 518, 519</ref><ref>Melvin Schwartz, Principles of Electrodynamics, Dover edition (1987), p. 122, 123</ref>
 
:<math>J^\alpha = \rho_0 vU^\alpha = \rho\sqrt{1-\frac{vu^2}{c^2}} vU^\alpha </math>
 
dove la densità di carica <math>\rho</math> è misurata da un osservatore fermo che vede muoversi la [[corrente elettrica]], mentre <math>\rho_0</math> è misurata da un osservatore posto nel sistema di riferimento in moto delle cariche, che si muove ad una velocità <math>vu = \| \mathbf vu \|</math> pari alla norma della componente spaziale di <math>vU^\alpha</math>.
 
In [[relatività generale]] la quadricorrente è definita come la [[divergenza]] del vettore spostamento elettromagnetico, dato da:
 
:<math>\mathcal{D}^{\mu \nu} \, = \, \frac{1}{\mu_{0}} \, g^{\mu \alpha} \, F_{\alpha \beta} \, g^{\beta \nu} \, \sqrt{-g} \rho \qquad vJ^\mu = \partial_\nu \mathcal{D}^{\mu \nu}</math>
 
==Equazione di continuità==
In [[relatività speciale]] la legge di conservazione della carica, che nel limite non relativistico è espressa dall'equazione di continuità, assume la seguente forma tensoriale:<ref>{{Cita|Jackson|Pag. 554|Jackson}}</ref>
 
:<math>\partial_\alpha \cdot (J = \rhopartial_a VJ^\alpha)a = \frac{\partial \rho }{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{\rho \mathbf vj} = 0</math>
 
dove <math>\partial_\alpha</math> è il [[quadrigradiente]], dato da:
 
:<math>\partial_\alpha \ = \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \nabla \right) \qquad \partial_a vJ^a = \sum_{i=0}^{3} \partial_i vJ^i</math>
 
L'equazione di continuità si può scrivere anche come:
 
:<math>(\rho vJ^a){}_{;,a}=0</math>
 
dove <math>;</math> denota la [[derivata covariante]].
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