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convergente per ogni x (reale e complesso).
'''Dimostrazione della somma della serie:'''
Sia
:<math>S_n(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!}</math>
allora
:<math>\dot S_n(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} {n*x^{n-1} \over n!} = \sum_{n = 1}^{\infty} {x^{n-1} \over (n-1)!} = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} </math>
pertanto
:<math>\dot S_n(x) = S_n(x) </math>
ed <math>\ S_n(x) </math> vale:
:<math>\ S_n(x) = e^x </math>
{{cassetto|titolo=Equivalenza delle definizioni|testo=
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