Matrice jacobiana: differenze tra le versioni
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In [[analisi matematica]], in particolare nel [[calcolo vettoriale]] e nel [[calcolo infinitesimale]], la '''matrice
La sua importanza è legata al fatto che, nel caso la funzione sia [[funzione differenziabile|differenziabile]], la jacobiana [[matrice di trasformazione|rappresenta]] la migliore approssimazione [[trasformazione lineare|lineare]] di una [[funzione differenziabile]] vicino ad un punto dato. In questo senso la jacobiana permette di generalizzare il concetto di [[derivata]] estendendo tale nozione alle
==Definizione==
Sia <math>\mathbf{f}: U \rightarrow \mathbb R^m</math> una [[funzione (matematica)|funzione]] definita su un [[insieme aperto]] <math>U</math> dello [[spazio euclideo]] <math> \mathbb R^n </math>. La
:<math>\mathbf{f}(\mathbf{x}_0+ \Delta\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{x}_0) = \mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\Delta\mathbf{x} + \mathbf r(\Delta \mathbf{x}) </math>▼
dove il resto <math>\mathbf r(\Delta\mathbf{x})</math> si annulla all'annullarsi dell'incremento <math>\Delta\mathbf{x}</math>. Se la funzione <math>\mathbf{f}</math> è differenziabile in <math>\mathbf{x}_0</math>, allora tutte le [[derivata parziale|derivate parziali]] calcolate nel punto esistono.▼
:<math>\operatorname J_f =\begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}\qquad \operatorname (J_f)_{ij} = \frac{\partial f_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} \qquad \operatorname J_{ij} =\frac{\partial_i}{\partial x_j} </math>
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:<math>J_f \cdot \mathbf e_j = \sum_{i=1}^m \frac{\partial f_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} \cdot \mathbf u_i </math>
La funzione <math>f</math> è detta [[funzione differenziabile|differenziabile]] in un punto <math>\mathbf{x}_0</math> del [[dominio (matematica)|dominio]] se esiste una [[applicazione lineare]] <math>\mathbf{L}:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m</math> tale che valga l'approssimazione:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 213|rudin}}</ref>
▲:<math>\mathbf{f}(\mathbf{x}_0+ \Delta\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{x}_0) = \mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\Delta\mathbf{x} + \mathbf r(\Delta \mathbf{x}) </math>
▲dove il resto <math>\mathbf r(\Delta\mathbf{x})</math> si annulla all'annullarsi dell'incremento <math>\Delta\mathbf{x}</math>. Se la funzione <math>\mathbf{f}</math> è differenziabile in <math>\mathbf{x}_0</math>, allora tutte le [[derivata parziale|derivate parziali]] calcolate nel punto esistono. La jacobiana di <math>f</math> in <math>\mathbf x_0</math> è la [[matrice di trasformazione|matrice associata]] all'[[applicazione lineare]] <math>\mathbf L(\mathbf x_0)</math> rispetto alle basi canoniche di <math> \mathbb R^n </math> e <math> \mathbb R^m </math>:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 217|rudin}}</ref>
:<math>J_f \cdot \Delta\mathbf{x} = \sum_{i=1}^m \left[ \sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} \Delta x_j \right] \cdot \mathbf u_i = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix} \cdot \Delta \mathbf{x} </math>
===Casi notevoli===
A seconda delle dimensioni <math> m </math> e <math> n </math>, la jacobiana ha diverse interpretazioni geometriche:
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