Matrice jacobiana: differenze tra le versioni

La sua importanza è legata al fatto che, nel caso la funzione sia [[funzione differenziabile|differenziabile]], la jacobiana [[matrice di trasformazione|rappresenta]] la migliore approssimazione [[trasformazione lineare|lineare]] didella una [[funzione differenziabile]] vicino ad un punto dato. In questo senso la jacobiana permette di generalizzare il concetto di [[derivata]] estendendo tale nozione alle funzioni di più variabili.

Sia <math>\mathbf{f}: U \rightarrow \mathbb R^m</math> una [[funzione (matematica)|funzione]] definita su un [[insieme aperto]] <math>U</math> dello [[spazio euclideo]] <math> \mathbb R^n </math>. La matrice jacobiana <math>J_f J_{\inmathbf \mathbb R^{mnf}</math> della funzione in <math>\mathbf x = (x_1, \dots, x_n)</math> è la [[matrice]] delle [[derivata parziale|derivate parziali]] prime della funzione calcolate in <math>\mathbf x</math>:

:<math>J_{\operatornamemathbf J_ff} = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}\qquad \operatorname (J_fJ_{\mathbf f})_{ij} = \frac{\partial f_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} \qquad \operatorname J_{ij} =\frac{\partial_i}{\partial x_j} </math>

:<math>J_fJ_{\mathbf f} \cdot \mathbf e_j = \sum_{i=1}^m \frac{\partial f_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} \cdot \mathbf u_i </math>

dove il resto <math>\mathbf r(\Delta\mathbf{x})</math> si annulla all'annullarsi dell'incremento <math>\Delta\mathbf{x}</math>. Se la funzione <math>\mathbf{f}</math> è differenziabile in <math>\mathbf{x}_0</math>, allora tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistono. La jacobiana <math>J_{\mathbf f(\mathbf x_0)}</math> di <math>f</math> in <math>\mathbf x_0</math> è la [[matrice di trasformazione|matrice associata]] all'applicazione lineare <math>\mathbf L(\mathbf x_0)</math> rispetto alle basi canoniche di <math> \mathbb R^n </math> e <math> \mathbb R^m </math>:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 217|rudin}}</ref>

* Se <math> m = 1 </math>, la matrice jacobiana si riduce ad un [[vettore (matematica)|vettore]] <math>n</math>-dimensionale, chiamato [[gradiente]] di <math>f</math> in <math>\mathbf x_0x</math>. In tal caso si ha:

:<math> L(\mathbf x ) = \nabla f = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f (\mathbf {x})}{\partial x_j} \cdot \mathbf e_i </math>

Da questo vediamosi vede che ''<math>f''</math> inverte l'orientazione vicino a quei punti dove ''x''<submath>1x_1</submath> e ''x''<submath>2x_2</submath> hanno lo stesso segno;. laLa funzione è localmente [[funzione invertibile|invertibile]] ovunque eccetto i punti caratterizzati da ''x''<submath>1x_1 = 0</submath>=0 e da ''x''<submath>2x_2 = 0</submath>=0. Se inizisi inizia con un piccolo volume in un intorno del punto <math>(1,1,1)</math> e applichisi ''applica <math>f''</math> a tale volume, ottienisi ottiene un volume 40 volte superiore all'originale.

* [[GlossarioDerivata sulle matriciparziale]]