Innalzamento e abbassamento degli indici: differenze tra le versioni
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L'innalzamento e l'abbassamento degli indici si ottengono moltiplicando il [[tensore metrico]] nella sua forma [[covariante]] o [[controvarianti]] e poi [[contrazione di un tensore|contraendo]] gli indici ripetuti, ovvero sommando sugli indici ripetuti come previsto dalla [[convenzione di Einstein]].
Più precisamente, questa costruzione sulle componenti del tensore sfrutta la presenza della metrica grazie al cosiddetto [[Isomorfismo musicale]], che permette di identificare in modo naturale spazio tangente e cotangente senza ricorrere ad una scelta della base.
Formalmente, dato un tensore <math>T</math> di tipo <math>(k, l)</math>, possiamo costruire un tensore <math>P</math> di tipo <math>(k + 1, l - 1)</math> in questo modo:
<math>P(dw^{1}, dw^{2}, \dots , dw^{k}, du, v_{1}, v_{2}, \dots , v_{l-1}) = T(dw^{1}, dw^{2}, \dots , dw^{k}, du^{\sharp}, v_{1}, v_{2}, \dots, v_{l-1})</math>
Dove <math>du^{\sharp}</math> è l'applicazione dell'operatore <math>\sharp</math> al covettore du.
Per vedere come questa costruzione sia equivalente alla moltiplicazione per le componenti del tensore metrico(o del suo inverso), notiamo innanzitutto che il diesis di un covettore base <math>dx^{k}</math> è dato da <math>g^{kj} \partial _{j}</math>, dove <math> \partial _{j}</math> è un elemento della base dello spazio tangente.
Dalla linearità dei tensori, segue immediatamente che <math> P_{b_1 \dots b_{l-1}}^{a_1 \dots a_{k+1}} = g^{a_{k+1} b_l } T_{b_1 \dots b_{l}}^{a_1 \dots a_{k}} </math>
Per quanto riguarda l'abbassamento di un indice, la procedura è analoga sostituendo allo diesis di un covettore il bemolle di un vettore.
Un esempio è dato dalla definizione del [[Tensore di Riemann]] in forma completamente covariante.
Ricordiamo che il tensore di Riemann in un punto p di una [[Varietà Riemanniana]] è un operatore lineare <math> R : T_p M \times T_p M \times T_p M \to T_p M </math>.
Per dualità, otteniamo un operatore <math> \bar{R} : T_{p}^{*} M \times T_p M \times T_p M \times T_p M \to \mathbb{R} </math> per il quale vale <math> \bar{R}_{i j k}^{l} = R_{i j k}^{l} </math>.
In questo caso, dobbiamo abbassare l'indice <math> l </math>, perciò procediamo definendo un nuovo operatore <math> \hat{R} : T_p M \times T_p M \times T_p M \times T_p M \to { \mathbb{R} }</math> in questo modo:
<math> \hat{R} (u, v, w, z) = \bar{R} (u^{ \flat }, v, w, z) </math>
Per calcolare le componenti, notiamo che il bemolle di un vettore base <math> \partial _{l} </math> è dato da <math> g_{l n} dx^{n} </math>.
Sostituendo nelle componenti:
<math>\hat{R}_{l i j k} = \hat{R} ( \partial _{l}, \partial _{i}, \partial _{j}, \partial _{k} ) = \bar{R} ( g_{l n} dx^{n}, \partial _{i}, \partial _{j}, \partial _{k} ) = g_{l n} \bar{R}_{i j k}^{n} = g_{l n} R_{i j k}^{n} </math> che è la trasformazione classica del tensore di Riemann in forma completamente covariante.
== Voci correlate ==
* [[Notazione di Einstein]]
* [[Tensore metrico]]
* [[Isomorfismo musicale]]
[[Categoria:Tensori|Innalzamento e abbassamento degli indici]]
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