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Riga 100: :<math>\vec{\Delta s}=\vec s(t_2)-\vec s(t_1)=\left( x(t_2)- x(t_1), y(t_2)-y(t_1) \right)</math> ==Equazioni del moto con il tempo come funzione== ===tempo in funzione dello spazio=== Se l'equazione del moto di un corpo è del tipo <math>\vec s(t)=f(t)</math>, calcolando le sue derivate si può risalire alla velocità <math>\vec v(t)=f'(t)</math>, all'accelerazione <math>\vec a(t)=f''(t)</math>, allo strappo <math>\vec j(t)=f'''(t)</math>, allo sbalzo <math>\vec r(t)=f''''(t)</math> e al crepitio <math>\vec c(t)=f'''''(t)</math>. ===tempo in funzione della velocità=== Se la velocità è costante, integrandola rispetto al tempo si ottiene l'equazione del moto uniforme. :<math>\vec s(t)=\int \!\vec v \,\mathrm{d}t= \vec v t+\vec s_0</math> Se il tempo è in funzione della velocità, cioè se la velocità è espressa come <math>\vec v(t)=f(t)</math>, integrandola rispetto al tempo si ottiene l'equazione del moto: :<math>\vec s(t)=\int \!f(t) \,\mathrm{d}t</math> Calcolando le sue derivate si può risalire all'accelerazione <math>\vec a(t)=f'(t)</math>, allo strappo <math>\vec j(t)=f''(t)</math>, allo sbalzo <math>\vec r(t)=f'''(t)</math> e al crepitio <math>\vec c(t)=f''''(t)</math>. ===tempo in funzione dell'accelerazione=== Se l'accelerazione è costante, integrandola rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime la velocità: :<math>\vec v(t)=\int \!\vec a \,\mathrm{d}t= \vec a t+\vec v_0</math> e integrando di nuovo rispetto al tempo si ottiene l'equazione del moto uniformemente accelerato. :<math>\vec s(t)=\int \!(\vec a t+\vec v_0 )\,\mathrm{d}t= \frac{1}{2}\vec a t^2+\vec v_0 t+\vec s_0</math> Se il tempo è in funzione dell'accelerazione, cioè se l'accelerazione è espressa come <math>\vec a(t)=f(t)</math>, integrandola rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime la velocità: :<math>\vec v(t)=\int \!f(t) \,\mathrm{d}t</math> e integrando di nuovo rispetto al tempo si ottiene l'equazione del moto: :<math>\vec s(t)=\iint\!f(t) \,\mathrm{d}t^2</math> Calcolando le sue derivate si può risalire allo strappo <math>\vec j(t)=f'(t)</math>, allo sbalzo <math>\vec r(t)=f''(t)</math> e al crepitio <math>\vec c(t)=f'''(t)</math>. ===tempo in funzione dello strappo=== Se lo strappo è costante, integrandolo rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime l'accelerazione: :<math>\vec a(t)=\int \!\vec j \,\mathrm{d}t= \vec j t+\vec a_0</math> integrando di nuovo rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime la velocità: :<math>\vec v(t)=\int \!(\vec j t+\vec a_0 )\,\mathrm{d}t= \frac{1}{2}\vec j t^2+\vec a_0 t+\vec v_0</math> e integrando ancora rispetto al tempo si ottiene l'equazione del moto a strappo costante. :<math>\vec s(t)=\int \!(\frac{1}{2}\vec j t^2+\vec a_0 t+\vec v_0)\, \mathrm{d}t=\frac{1}{6}\vec j t^3+\frac{1}{2}\vec a_0 t^2+\vec v_0 t+\vec s_0</math> Se il tempo è in funzione dello strappo, cioè se lo strappo è espresso come <math>\vec j(t)=f(t)</math>, integrandolo rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime l'accelerazione: :<math>\vec a(t)=\int \!f(t) \,\mathrm{d}t</math> integrando di nuovo rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime la velocità: :<math>\vec v(t)=\iint\!f(t) \,\mathrm{d}t^2</math> e integrando ancora rispetto al tempo si ottiene l'equazione del moto. :<math>\vec s(t)=\iiint\!f(t) \,\mathrm{d}t^3</math> Calcolando le sue derivate si può risalire allo sbalzo <math>\vec r(t)=f'(t)</math> e al crepitio <math>\vec c(t)=f''(t)</math>. ===tempo in funzione dello sbalzo=== Se lo sbalzo è costante, integrandolo rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime lo strappo: :<math>\vec j(t)=\int \!\vec r \,\mathrm{d}t= \vec r t+\vec j_0</math> integrando due volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime l'accelerazione: :<math>\vec a(t)=\int \!(\vec r t+\vec j_0 )\,\mathrm{d}t= \frac{1}{2}\vec r t^2+\vec j_0 t+\vec a_0</math> integrando tre volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime la velocità: :<math>\vec v(t)=\int \!(\frac{1}{2}\vec r t^2+\vec j_0 t+\vec a_0)\, \mathrm{d}t=\frac{1}{6}\vec r t^3+\frac{1}{2}\vec j_0 t^2+\vec a_0 t+\vec v_0</math> e integrando quattro volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione del moto a sbalzo costante. :<math>\vec s(t)=\int \!(\frac{1}{6}\vec r t^3+\frac{1}{2}\vec j_0 t^2+\vec a_0 t+\vec v_0)\, \mathrm{d}t=\frac{1}{24}\vec r t^4+\frac{1}{6}\vec j_0 t^3+\frac{1}{2}\vec a_0 t^2+\vec v_0 t+\vec s_0</math> Se il tempo è in funzione dello sbalzo, cioè se lo sbalzo è espresso come <math>\vec r(t)=f(t)</math>, integrandolo rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime lo strappo: :<math>\vec j(t)=\int \!f(t) \,\mathrm{d}t</math> integrando due volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime l'accelerazione: :<math>\vec a(t)=\iint\!f(t) \,\mathrm{d}t^2</math> integrando tre volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime la velocità: :<math>\vec v(t)=\iiint\!f(t) \,\mathrm{d}t^3</math> e integrando quattro volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione del moto. :<math>\vec s(t)=\iiiint\!f(t) \,\mathrm{d}t^4</math> Calcolando la sua derivata si può risalire al crepitio <math>\vec c(t)=f'(t)</math>. ===tempo in funzione del crepitio=== Se il crepitio è costante, integrandolo rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime lo sbalzo: :<math>\vec r(t)=\int \!\vec c \,\mathrm{d}t= \vec c t+\vec r_0</math> integrando due volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime lo strappo: :<math>\vec j(t)=\int \!(\vec c t+\vec r_0 )\,\mathrm{d}t= \frac{1}{2}\vec c t^2+\vec r_0 t+\vec j_0</math> integrando tre volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime l'accelerazione: :<math>\vec a(t)=\int \!(\frac{1}{2}\vec c t^2+\vec r_0 t+\vec j_0)\, \mathrm{d}t=\frac{1}{6}\vec c t^3+\frac{1}{2}\vec r_0 t^2+\vec j_0 t+\vec a_0</math> integrando quattro volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime la velocità: :<math>\vec v(t)=\int \!(\frac{1}{6}\vec c t^3+\frac{1}{2}\vec r_0 t^2+\vec j_0 t+\vec a_0)\, \mathrm{d}t=\frac{1}{24}\vec c t^4+\frac{1}{6}\vec r_0 t^3+\frac{1}{2}\vec j_0 t^2+\vec a_0 t+\vec v_0</math> integrando cinque volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione del moto a crepitio costante. :<math>\vec s(t)=\int \!(\frac{1}{24}\vec c t^4+\frac{1}{6}\vec r_0 t^3+\frac{1}{2}\vec j_0 t^2+\vec a_0 t+\vec v_0)\, \mathrm{d}t=\frac{1}{120}\vec c t^5+\frac{1}{24}\vec r t^4+\frac{1}{6}\vec j_0 t^3+\frac{1}{2}\vec a_0 t^2+\vec v_0 t+\vec s_0</math> Se il tempo è in funzione del crepitio, cioè se il crepitio è espresso come <math>\vec c(t)=f(t)</math>, integrandolo rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime lo sbalzo: :<math>\vec r(t)=\int \!f(t) \,\mathrm{d}t</math> integrando due volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime lo strappo: :<math>\vec j(t)=\iint\!f(t) \,\mathrm{d}t^2</math> integrando tre volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime l'accelerazione: :<math>\vec a(t)=\iiint\!f(t) \,\mathrm{d}t^3</math> integrando quattro volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime la velocità: :<math>\vec v(t)=\iiiint\!f(t) \,\mathrm{d}t^4</math> e integrando cinque volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione del moto. :<math>\vec s(t)=\iiiint\!f(t) \,\mathrm{d}t^5</math> Se si considerano le derivate dello spazio rispetto al tempo di grado superiore al quinto, si potranno descrivere moti sempre più complessi. ==Note==

Equazione del moto: differenze tra le versioni