Covarianza (probabilità): differenze tra le versioni

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In [[matematica]], in particolare in [[teoria della probabilità]], la '''covarianza''' di due [[variabile aleatoria|variabili aleatorie]] è un numero Cov(''X'',''Y'') che fornisce una misura di quanto le due varino assieme, ovvero della loro [[variabili indipendenti|dipendenza]].
{{nota disambigua|il concetto fisico|[[covarianza (fisica)]]}}
 
In [[matematica]], in particolare in [[teoria della probabilità]], la '''covarianza''' di due [[variabile aleatoria|variabili aleatorie]] è un numero Cov(''X'',''Y'') che fornisce una misura di quanto le due varino assieme, ovvero della loro [[variabili indipendenti|dipendenza]].
 
== Definizione ==
La covarianza di due variabili aleatorie ''X'' e ''Y'' è il [[valore atteso]] dei prodotti delle loro distanze dalla media:
:<math>\text{Covcov}(X,Y)=\mathbb{E}\Big[\big(X-\mathbb{E}[X]\big)(Y-\mathbb{E}[Y]\big)\Big]</math>.
 
La covarianza di ''X'' e ''Y'' può anche essere espressa come la differenza tra il [[valore atteso]] del loro prodotto e il prodotto dei loro valori attesi:
:<math>\text{Covcov}(X,Y)=\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]\ </math>.
Infatti per la [[trasformazione lineare|linearità]] del valore atteso risulta
:<math>\mathbb{E}\Big[XY-X\mathbb{E}[Y]-\mathbb{E}[X]Y+\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]\Big]=\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]-\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]+\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]\ </math>.
== Proprietà ==
La covarianza rispetta le seguenti proprietà, per variabili aleatorie ''X'', ''Y'' e ''Z'', e costanti ''a'' e ''b'':
* <math>\text{Covcov}(X,Y)=\text{Covcov}(Y,X)\ </math>
* <math>\text{Covcov}(aX+b,Y)=a\text{Covcov}(X,Y)\ </math>
* <math>\text{Covcov}(X+Y,Z)=\text{Covcov}(X,Z)+\text{Covcov}(Y,Z)\ </math>
 
Due variabili aleatorie [[variabili indipendenti|indipendenti]] hanno covarianza nulla, poiché dalla loro indipendenza segue
Due variabili aleatorie dipendenti possono essere non correlate.
Ad esempio, se ''X'' è una variabile aleatoria di [[variabile casuale uniforme continua|legge uniforme]] sull'intervallo [-1,1] e ''Y=X<sup>2</sup>'', allora
:<math>\textstyle \text{Covcov}(X,Y)=\text{Covcov}(X,X^2)=\mathbb{E}[X^3]-\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[X^2]=0-0 \mathbb{E}[X^2]=0</math>.
 
=== Varianza ===
La covarianza può essere considerata una generalizzazione della [[varianza]]
:<math>\text{Var}(X)=\text{Covcov}(X,X)\ </math>
e compare come termine di ''correzione'' nella relazione
:<math>\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)+2\text{Covcov}(X,Y)\ </math>
 
Più in generale, per variabili aleatorie <math>X_1,...,X_n</math> e <math>Y_1,...,Y_m</math> vale
:<math>\textstyle \text{Var}(\sum_iX_i)=\text{Covcov}(\sum_iX_i,\sum_jX_j)=\sum_{i,j}\text{Covcov}(X_i,X_j)=\sum_i\text{Var}(X_i)+2\sum_{i>j}\text{Covcov}(X_i,X_j)</math>
come caso particolare di
:<math>\textstyle \text{Covcov}\left(\sum_i X_i, \sum_j Y_j\right)=\sum_{i,j}\text{Covcov}(X_i,Y_j)</math>.
 
== Statistica ==
{{D|Covarianza (statistica)}}
In [[statistica]] la covarianza è anche indicata come
:<math>\sigma_{X,Y}=\text{Covcov}(X,Y)\ </math>.
 
Su un campione di ''n'' osservazioni congiunte (''x<sub>i</sub>,y<sub>i</sub>''), di rispettive medie osservate <math>\bar{x}</math> e <math>\bar{y}</math>, la covarianza osservata è
:<math>\rho_{X,Y}=\frac{\sum_i(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y_i})}{\sqrt{\sum_{i,j}(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}}</math>,
ovvero uno [[stimatore]] del [[coefficiente di correlazione lineare]]
:<math>\text{Corr}(X,Y)=\frac{\text{Covcov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)\text{Var}(Y)}}</math>
 
== Voci correlate ==