Raggio spettrale: differenze tra le versioni
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== Raggio spettrale di una matrice ==
Siano
:<math>\rho(A)
Un [[Limite superiore e limite inferiore|limite superiore]] per il raggio spettrale è dato dal seguente lemma. Sia <math>A \in \mathbb{C}^{n \times n}</math> una matrice complessa, <math>\rho(A)</math> il suo raggio spettrale e <math>\| \cdot \|</math> una [[Norma matriciale|norma matriciale consistente]]. Allora per ogni <math>k \in \N</math> si ha:
:<math>\rho(A)\leq \|A^k\|^{1/k}</math>
Infatti, sia <math>(\mathbf v, \lambda)</math> una coppia autovettore-autovalore relativi ad <math>A</math>. Per la proprietà sub-moltiplicativa della norma matriciale:
:<math>|\lambda|^k\|\mathbf{v}\| = \|\lambda^k \mathbf{v}\| = \|A^k \mathbf{v}\| \leq \|A^k\|\cdot\|\mathbf{v}\|</math>
e dato che <math>\mathbf v \ne 0</math> per ogni <math>\lambda</math> si ha:
:<math>|\lambda|^k\leq \|A^k\|</math>
e dunque:
:<math>\rho(A)\leq \|A^k\|^{1/k}\,\,\square</math>
Il raggio spettrale è strettamente legato al comportamento della convergenza della successione delle potenze di una matrice. In pratica, vale il seguente teorema. Sia <math>A \in \mathbb{C}^{n \times n}</math> una matrice complessa e <math>\rho(A)</math> il suo raggio spettrale. Allora:
:<math>\lim_{k \to \infty}A^k=0</math> if and only if <math>\rho(A)<1</math>
Inoltre, se <math>\rho(A) > 1</math> allora <math>\|A^k\|</math> non è limitato per valori di <math>k</math> crescenti.
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Per mostrare che <math>\left(\lim_{k \to \infty}A^k = 0</math> implica <math> \rho(A) < 1\right</math>, sia <math>(\mathbf v, \lambda)</math> una coppia autovettore-autovalore relativi ad <math>A</math>. Dato che:
:<math>A^k\mathbf{v} = \lambda^k\mathbf{v},</math>
si ha:
:<math>\begin{align}
0 &= \left(\lim_{k \to \infty}A^k\right)\mathbf{v} \\
&= \lim_{k \to \infty}A^k\mathbf{v} \\
&= \lim_{k \to \infty}\lambda^k\mathbf{v} \\
&= \mathbf{v}\lim_{k \to \infty}\lambda^k
\end{align}</math>
e dato che per ipotesi <math>\mathbf v \ne 0</math> si deve verificare:
:<math>\lim_{k \to \infty}\lambda^k = 0</math>
che implica |λ| < 1. Since this must be true for any eigenvalue λ, we can conclude ρ(''A'') < 1.
<math>\left(\rho(A)<1 \Rightarrow \lim_{k \to \infty}A^k = 0\right)</math>
From the [[Jordan normal form]] theorem, we know that for any complex valued matrix <math>A \in \mathbb{C}^{n \times n}</math>, a non-singular matrix <math>V \in \mathbb{C}^{n \times n}</math> and a block-diagonal matrix <math>J \in \mathbb{C}^{n \times n}</math> exist such that:
:<math>A = VJV^{-1}</math>
with
:<math>J=\begin{bmatrix}
J_{m_1}(\lambda_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & J_{m_2}(\lambda_2) & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \cdots & \ddots & \cdots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & J_{m_{s-1}}(\lambda_{s-1}) & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & J_{m_s}(\lambda_s)
\end{bmatrix}</math>
where
:<math>J_{m_i}(\lambda_i)=\begin{bmatrix}
\lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_i & 1 \\
0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i
\end{bmatrix}\in \mathbb{C}^{m_i,m_i}, 1\leq i\leq s.</math>
It is easy to see that
:<math>A^k=VJ^kV^{-1}</math>
and, since <math>J</math> is block-diagonal,
:<math>J^k=\begin{bmatrix}
J_{m_1}^k(\lambda_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & J_{m_2}^k(\lambda_2) & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \cdots & \ddots & \cdots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & J_{m_{s-1}}^k(\lambda_{s-1}) & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & J_{m_s}^k(\lambda_s)
\end{bmatrix}</math>
Now, a standard result on the <math>k</math>-power of an <math>m_i \times m_i</math> Jordan block states that, for <math>k \geq m_i-1</math>:
:<math>J_{m_i}^k(\lambda_i)=\begin{bmatrix}
\lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} & {k \choose 2}\lambda_i^{k-2} & \cdots & {k \choose m_i-1}\lambda_i^{k-m_i+1} \\
0 & \lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} & \cdots & {k \choose m_i-2}\lambda_i^{k-m_i+2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} \\
0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i^k
\end{bmatrix}</math>
Thus, if <math>\rho(A) < 1</math> then <math>|\lambda_i| < 1 \forall i</math>, so that
:<math>\lim_{k \to \infty}J_{m_i}^k=0\ \forall i</math>
which implies
:<math>\lim_{k \to \infty}J^k = 0.</math>
Therefore,
:<math>\lim_{k \to \infty}A^k=\lim_{k \to \infty}VJ^kV^{-1}=V(\lim_{k \to \infty}J^k)V^{-1}=0</math>
On the other side, if <math>\rho(A)>1</math>, there is at least one element in <math>J</math> which doesn't remain bounded as k increases, so proving the second part of the statement. <math>\square</math>
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== Raggio spettrale per un operatore lineare limitato ==
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