Tensione interna: differenze tra le versioni

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Le modifiche stravolgono in peggio la voce, ed in particolare la definizione, che nella stesura iniziale riprende uno schema classico della meccanica del continuo. Contributi devono intervenire con cognizione di causa per arricchire la voce.
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{{Meccanica del continuo}}
InLa [[meccanica'''tensione delinterna''' continuo]] la(o '''tensionesollecitazione interna''' (o '''sforzo'''), indicataè solitamente con tuna [[Misura (metrologia)|misura]] ledelle [[forza|forze]] [[continuo di Cauchy#Massa e forze|di contatto]] esercitate all'internotra le parti interne di un [[continuo di Cauchy|corpo continuo tridimensionale]] attraverso unala relativa [[Frontiera (topologia)|superficie di separazione]] interna. VieneEssa definitoè definita come l'[[autovettore]]la delforza [[tensoredi delcontatto secondoper ordine]]unità dettodi ''degliarea, sforzi''cioè introdottoè neiil termini di sorgentelimite del [[bilanciorapporto dellatra quantitàla diforza moto]]agente e [[primo principiol'area della termodinamica|disuperficie energiasu interna]].cui agisce
La sua unità di misura è il [[pascal (unità di misura)|pascal]] (simbolo '''Pa'''). Nella pratica tecnica si fa uso più comunemente del [[mega]]pascal ('''MPa''') o del [[Giga (prefisso)|giga]]pascal ('''GPa''').
 
:<math>{\mathbf t}=\lim_{\Delta A\rightarrow 0} \frac{\Delta \mathbf f_c}{\Delta A}</math>
L'influenza osservabile della tensione in un materiale sul suo comportamento cinetico è rappresentato dalle [[leggi costitutive]] del materiale.
Un fluido per esempio risente delle tensioni in [[Approssimazione di Chapman-Enskog|approssimazione]] zero seguendo la [[legge di Pascal]], in approssimazione del primo ordine in base alla [[legge di Stokes]].
Invece un [[solido]] può essere [[deformazione|deformato]] attraverso l'applicazione delle tensioni, eventualmente fino ad un limite massimo detto [[carico di rottura]], oltre il quale il corpo raggiunge rapidamente una nuova condizione di equilibrio. L'ipotesi più semplice in questo caso è quella di [[elasticità]], per cui vale la [[legge di Hooke]].
 
Essa è una [[Vettore (fisica)|quantità vettoriale]] e la sua unità di misura è il [[pascal (unità di misura)|pascal]] (simbolo '''Pa'''). Nella pratica tecnica si fa uso più comunemente del [[mega]]pascal ('''MPa''') o del [[Giga (prefisso)|giga]]pascal ('''GPa''').
==Cenni storici==
La nozione di una tensione interna agente attraverso le superfici di un solido deformato fu per prima introdotta da [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] nel [[1684]] e da [[Jakob Bernoulli]] nel [[1691]]. Nel [[1713]] [[Antoine Parent|Parent]] (1660-1726), un matematico francese, riconobbe, anche se in modo fumoso, l'esistenza delle tensioni tangenziali. Successivamente, attorno al [[1750]], [[Daniel Bernoulli]] ed [[Eulero]] formularono una teoria completa della trave, introducendo l'idea delle tensioni interne sulla sezione di una trave ed associando ad esse una [[forza risultante]] ed un [[momento risultante]]. Nel [[1752]] Eulero associò l'idea delle componenti normali della tensione al concetto di [[pressione]]. Ulteriori contributi al concetto di tensione furono dati da [[Charles Augustin de Coulomb|Coulomb]] che formalizzò il concetto di tensione tangenziale, e da [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]], nel [[1822]] vi associò il tensore omonimo nel contesto di una teoria generale del continuo. Nella trattazione moderna quest'ultimo è stato poi definito su base [[meccanica statistica|statistica]] nella derivazione del [[bilancio della quantità di moto]] da un'[[equazione del traporto]] lineare.<ref name="D54">{{Cita|Duderstadt et al.|pp. 254}}</ref>
 
In generale un corpo o un sistema in un certo istante temporale, dal punto di vista tensionale interno, si trova in una condizione di [[equilibrio]]; lo stato tensionale interno di un materiale può essere alterato attraverso l'applicazione di [[forza|forze]] o [[azione esterna|sollecitazioni esterne]] che provocano una [[deformazione]] dello stesso eventualmente fino ad un limite massimo detto [[carico di rottura]], oltre il quale il corpo raggiunge rapidamente una nuova condizione di equilibrio.
==Definizione==
Il tensore di Cauchy è definito nello [[spazio delle configurazioni]] come <ref name="D54"/> l'integrale sullo spazio del [[momento coniugato]] (nel caso meccanico classico, semplicemente lo spazio della [[quantità di moto]]) del [[prodotto tensoriale|quadrato tensoriale]] dello scarto tra [[velocità]] e [[velocità macroscopica]]<ref>si indicano qui per evitare ambiguità i [[vettore (fisica)|vettori]] con una barra e le [[matrici]] con due, secondo la loro [[dimensione di Hamel]], a parte il [[nabla]] che è ovviamente un vettore per cui una barra è implicita</ref>:
 
Il concetto di tensione è basato sul concetto di [[corpo continuo|continuo]] e riveste un ruolo fondamentale in tutta la [[meccanica del continuo]] in quanto caratterizza lo stato delle forze interne/sollecitazioni interne di un corpo e, di conseguenza, il comportamento del materiale costituente il corpo, cioè come questo si deforma sotto l'azione di forze applicate.
<math>\bar \bar \sigma (\bar r,t) = \int n (\bar v - \langle \bar v \rangle) \otimes (\bar v - \langle \bar v \rangle) \operatorname dp </math>
 
==Cenni storici==
La sua unità di misura nel [[Sistema Internazionale]] è il [[chilogrammo]] al [[metro]] [[secondo]] quadro, definito [[pascal (unità di misura)|pascal]] (simbolo '''Pa'''). Nella pratica tecnica si fa uso più comunemente del [[mega]]pascal ('''MPa''') o del [[Giga (prefisso)|giga]]pascal ('''GPa'''). Vale la proprietà:
La nozione di una tensione interna agente attraverso le superficie di un solido deformato fu per prima introdotta dal matematico e fisico [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] nel [[1684]] e da [[Jakob Bernoulli]] nel [[1691]]. Nel [[1713]] [[Antoine Parent]] (1660-1726), un matematico francese, riconobbe, anche se in modo fumoso, l'esistenza delle tensioni tangenziali. Successivamente, attorno al [[1750]], [[Daniel Bernoulli]] ed [[Eulero]] formularono una teoria completa della trave, introducendo l'idea delle tensioni interne sulla sezione di una trave ed associando ad esse una [[forza risultante]] ed un [[momento risultante]]. Nel [[1752]] Eulero associò l'idea delle componenti normali della tensione al concetto di [[pressione]]. Ulteriori contributi al concetto di tensione furono dati dal fisico ed ingegnere francese [[Charles Augustin de Coulomb|Coulomb]] (1736-1806) che diede una precisa formalizzazione del concetto di tensione tangenziale. Ma fu il grande matematico (ma con formazione anche ingegneristica) francese [[Augustin Louis Cauchy]] (1789-1857) che, nel [[1822]] formalizzò il concetto di tensione nel contesto di una generale teoria tridimensionale.
 
==Il vettore delle tensioni==
<math>\frac {\partial}{\partial \bar r} \cdot \bar \bar \sigma = \int (\bar v \cdot \frac {\partial n}{\partial \bar r}) \bar v \operatorname dp - \frac {\partial}{\partial \bar r} \cdot (\rho \langle \bar v \rangle \langle \bar v \rangle)</math>
{{cassetto
|titolo=''Notazioni e simbologia''
|colore=#ABCDEF
|larghezza=300px
|allineamento=destra
|testo=
Operazioni su [[vettori]] e [[tensori]] o [[matrici]]:
*[[prodotto scalare]] tra vettori:
:<math>{\mathbf a}\, \cdot\,{\mathbf b}</math>
*[[matrice trasposta|tensore trasposto]] di un tensore:
:<math>\mathbf{A}^t</math>
*[[matrice inversa|tensore inverso]] di un tensore:
:<math>\mathbf{A}^{-1}</math>
*[[traccia (matrice)|traccia]] di un tensore:
:<math>\mathrm{tr}({\mathbf A})</math>
*[[determinante]] di un tensore:
:<math>\det({\mathbf A})</math>
}}
[[Immagine:Continuo Cauchy.png|300px|right|thumb|Continuo tridimensionale di Cauchy]]
[[Immagine:Forze Cauchy2.png|300px|right|thumb|Tensioni interne nel continuo di Cauchy]]
[[Immagine:Tensore Cauchy.png|300px|right|thumb|Componenti del tensore delle tensioni di Cauchy]]
 
Per un corpo <math>{\mathcal B} </math> in una configurazione <math>{\boldsymbol \chi}({\mathcal B}) </math>, le tensioni interne sono un campo vettoriale <math>{\mathbf t}(\cdot)</math> definito nella configurazione <math>{\boldsymbol \chi}({\mathcal B}) </math> tale che il [[Forza risultante|risultante]] delle forze di contatto agenti su una generica parte <math>{\mathcal P}</math> del corpo sia misurato dall'[[integrale di superficie]] sulla frontiera <math>\partial {\boldsymbol \chi}({\mathcal P}) </math>
Si definisce '''[[forza risultante]] [[forza di contatto|di contatto]]''' il suo integrale sulla [[fronteria (topologia)|frontiera]] dello [[spazio delle configurazioni]] (nella pratica tecnica lo spazio cartesiano tridimensionale):
 
:<math>\oint_{\partialmathbf Vr} ^c({\barmathcal P})=\bar int_{\sigmapartial {\cdotboldsymbol \operatorname d chi}({\barmathcal {r^2P})} = {\barmathbf F_t}({\partialmathbf Vx}</math>.,\ldots) \,ds
</math>
 
Le tensioni sono in generale funzione, oltre che del punto <math>{\mathbf x}</math>, anche della forma della superficie di contatto <math>\partial {\boldsymbol \chi}({\mathcal P})</math>
Importanti caratterizzazioni dello stato tensionale in un punto derivano come corollari delle [[Continuo di Cauchy#Leggi di Eulero, teorema di Cauchy ed equazioni del moto|leggi di Eulero]], le due equazioni di bilancio da soddisfare durante il moto di un corpo continuo. La [[prima equazione cardinale]] porta al ''Teorema di Cauchy''.
 
:<math>{\mathbf t}={\mathbf t} \left({\mathbf x}, \partial {\boldsymbol \chi}({\mathcal P}) \right)
===Invarianti tensoriali===
Il [[Autovettore e autovalore|problema agli autovalori]] associato consiste nella ricerca degli autovettori <math>{\hat n}</math> ed autovalori <math>\lambda</math> del tensore di Cauchy <math>{\bar \bar \sigma}</math>.
 
Posto nella forma (<math>{\bar \bar 1}</math> è il tensore identità)
 
:<math>({\bar \bar \sigma}-\lambda {\bar \bar 1})\,{\hat n}=0
</math>
 
In meccanica classica si ammette però la validità del ''postulato di Cauchy'', che definisce la dipendenza da <math> \partial {\boldsymbol \chi}({\mathcal P})</math> solo attraverso la [[Normale (superficie)|normale]] <math>{\mathbf n}</math> alla superficie <math> \partial {\boldsymbol \chi}({\mathcal P})</math> passante per <math>{\mathbf x}</math>, cioè accettando la semplificazione:
il problema è equivalente alla ricerca del [[Nucleo (matematica)|nucleo]] dell'operatore <math>({\bar \bar \sigma}-\lambda \, {\bar \bar 1})</math>, definito dalla relativa condizione di singolarità (la ''[[polinomio caratteristico|equazione caratteristica]]'' dell'operatore <math>{\bar \bar \sigma}</math>)
 
:<math>{\mboxmathbf t}={det\mathbf t} \left({\barmathbf \bar \sigmax}-\lambda, \,{\barmathbf \barn} 1}\right)=\begin{vmatrix}
\sigma_{11} - \lambda & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
\sigma_{21} & \sigma_{22} - \lambda & \sigma_{23} \\
\sigma_{31}& \sigma_{32} & \sigma_{33} - \lambda \\
\end{vmatrix}=0
</math>
 
In altri termini, sulla base del postulato di Cauchy, a superfici diverse passanti per il punto <math>{\mathbf x}</math>, caratterizzate localmente dall'avere la stessa normale, è associato lo stesso valore del vettore tensione.
Questa assume l'espressione di un'equazione algebrica di terzo grado
 
===Tensioni normali e tangenziali===
:<math>-\lambda^3+ \lambda^2 I_1-\lambda I_2+I_3=0 \!
Il vettore tensione <math>{\mathbf t}={\mathbf t} \left({\mathbf x}, {\mathbf n} \right) </math>
agente in un punto interno <math>{\mathbf x}</math> e sulla giacitura di normale <math>{\mathbf n}</math>, può essere rappresentato attraverso le [[Covarianza e controvarianza|componenti]] in una generica base di vettori ortonormali <math>\left\{\bar 1_1,\bar 1_2,\bar 1_3\right\}</math>
 
:<math>{\mathbf t}=\sigma_1 \bar 1_1+\sigma_2\bar 1_2+\sigma_3 \bar 1_3
</math>
 
Il vettore tensione è non necessariamente ortogonale al piano su cui agisce. Interessante da un punto di vista tecnico è la decomposizione del vettore tensione nella componente lungo la direzione normale <math>{\mathbf n}</math> alla giacitura e nella componente contenuta nel piano della giacitura
ove i coefficienti <math>(I_1,I_2,I_3\!)</math> sono gli ''invarianti'' del tensore <math>{\bar \bar \sigma}</math> e sono definiti dalle
 
:<math>{\mathbf t}= {\boldsymbol \sigma}+{\boldsymbol \tau} \;\;\;,\;\;\;{\boldsymbol \sigma}=\sigma_n {\mathbf n} \;\;\;,\;\;\;{\boldsymbol \tau}=\tau_m {\mathbf m}
:<math>\begin{align}
I_1&=\mbox{tr}\,{\bar \bar \sigma}=\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33} \\
I_2&=\frac{1}{2}\left((\mbox{tr}\,{\bar \bar \sigma})^2- \mbox{tr}\,({\bar \bar \sigma}^2) \right)= \sigma_{11}\sigma_{22}+\sigma_{22}\sigma_{33}+\sigma_{11}\sigma_{33}-\sigma_{12}^2-\sigma_{23}^2-\sigma_{13}^2\\
I_3&=\mbox{det}\,{\bar \bar \sigma}=\sigma_{11}\sigma_{22}\sigma_{33}+2\sigma_{12}\sigma_{23}\sigma_{31}-\sigma_{12}^2\sigma_{33}-\sigma_{23}^2\sigma_{11}-\sigma_{13}^2\sigma_{22}
\end{align}
</math>
 
Essendo il tensore <math>{\bar \bar \sigma}</math> simmetrico, un [[teorema spettrale|teorema dell'algebra]] assicura che l'equazione caratteristica ammetta tre radici reali <math>(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\!)</math> e, inoltre, che i tre autovettori associati <math>({\hat n}_1,{\hat n}_2,{\hat n}_3)</math> siano tra loro [[base ortonormale|ortonormali]]:
 
*Dicesi ''tensione normale'' <math>\sigma_n</math> la [[Covarianza e controvarianza|componente]] del vettore tensione <math>{\bold t}</math> lungo la direzione normale <math>{\bold n}</math>
:<math>n_i\,\cdot\, n_j = 1{ij}</math>
 
:<math>\sigma_n={\bold t}\,\cdot\,{\bold n}
dove con 1<sub>ij</sub> si indica il [[delta di Kronecker|simbolo di Kronecker]].
</math>
 
*Dicesi ''tensione tangenziale'' <math>\tau_{m}</math> la [[Covarianza e controvarianza|componente]] del vettore tensione <math>{\bold t}</math> lungo una direzione <math>{\bold m}</math> contenuta nel piano di normale <math>{\bold n}</math>
In conclusione, per ogni punto esistono tre giaciture tra loro ortogonali, chiamate '''''piani principali di tensione''''', con vettori normali <math>({\hat n}_1,{\hat n}_2,{\hat n}_3)</math> ('''''le direzioni principali di tensione'''''), rispetto alle quali il vettore tensione ha solo componenti normali <math>(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> ('''''le tensioni principali''''') e manca di componenti tangenziali. Si dimostra che le tensioni principali rappresentano i valori massimi (e minimi) attinti dallo stato tensionale in un punto al variare della giacitura passante per esso.
 
:<math>\tau_{m}={\bold t}\,\cdot\,{\bold m}
La rappresentazione spettrale del tensore delle tensioni <math>{\bar \bar \sigma}</math>, cioè la rappresentazione del tensore in una base costituita dalle tre direzioni principali di tensione, è data dalla matrice diagonale
 
:<math>
{\bar \bar \sigma}\equiv\begin{bmatrix}
\sigma_{1} &0 &0 \\
0 &\sigma_{2} &0 \\
0 &0 &\sigma_{3} \\
\end{bmatrix}
</math>
 
==Il tensore delle tensioni di Cauchy==
Nella rappresentazione spettrali, gli invarianti dello stato tensionale attingono la seguente espressione:
{{vedi anche|Teorema di Cauchy (meccanica del continuo)}}
Importanti caratterizzazioni dello stato tensionale in un punto derivano come corollari delle [[Continuo di Cauchy#Leggi di Eulero, teorema di Cauchy ed equazioni del moto|leggi di Eulero]], le due equazioni di bilancio da soddisfare durante il moto di un corpo continuo. La prima legge di Eulero (conservazione della quantità di moto) porta al ''Teorema di Cauchy''.
 
Lo ''stato tensionale'' in un punto è definito dalla conoscenza di tutti i vettori tensione <math>\mathbf{t}^{(\mathbf{n})} </math> associati con tutti i piani (di numero infinito) che passano per quel punto. In particolare, lo stato tensionale su tre piani paralleli ai piani coordinate sarà rappresentato dai tre vettori
:<math>\ \begin{align}
I_1 &= \sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3} \\
I_2 &= \sigma_{1}\sigma_{2}+\sigma_{2}\sigma_{3}+\sigma_{3}\sigma_{1} \\
I_3 &= \sigma_{1}\sigma_{2}\sigma_{3} \\
\end{align}</math>
 
:<math>\ \mathbf{t}^{(\mathbf{e}_1)}= \sigma_{11} \mathbf{e}_1 + \sigma_{12} \mathbf{e}_2 + \sigma_{13} \mathbf{e}_3 </math>
===Tensori di Piola-Kirchhoff===
:<math>\ \mathbf{t}^{(\mathbf{e}_2)}= \sigma_{21} \mathbf{e}_1 + \sigma_{22} \mathbf{e}_2 + \sigma_{23} \mathbf{e}_3 </math>
{{vedi anche|sezione =s|[[Continuo di Cauchy#Equazioni del moto in forma lagrangiana e tensori nominali degli sforzi|Continuo di Cauchy e tensori nominali degli sforzi]]}}
:<math>\ \mathbf{t}^{(\mathbf{e}_3)}= \sigma_{31} \mathbf{e}_1 + \sigma_{32} \mathbf{e}_2 + \sigma_{33} \mathbf{e}_3 </math>
La descrizione dello stato tensionale è espressa in modo naturale in forma euleriana con riferimento alla configurazione attuale e facendo uso del tensore di Cauchy. Nel caso di spostamenti e deformazioni finite, lo stato tensionale può anche essere espresso in una formulazione lagrangiana, cioè facendo riferimento alla configurazione di riferimento iniziale, mediante l'uso dei ''tensori nominali di sforzo di [[Gabrio Piola|Piola]]-[[Gustav Kirchhoff|Kirchhoff]]'', il cui significato è prettamente matematico.
 
e quindi dalle nove componenti scalari <math>\left\{\sigma_{11},\sigma_{12},\ldots, \sigma_{33}\right\}</math>, di cui
Nell'ipotesi di [[Deformazione#Teoria dei piccoli spostamenti|piccoli spostamenti e rotazioni]], i tensori nominali degli sforzi e il tensore di Cauchy coincidono: in tal caso è solito far uso del simbolo <math>{\boldsymbol \sigma}</math> per indicare il tensore delle tensioni.
:<math>\ \sigma_{11}</math>, <math>\ \sigma_{22}</math>, e :<math>\ \sigma_{33}</math> sono tensioni normali, e
:<math>\ \sigma_{12}</math>, <math>\ \sigma_{13}</math>, <math>\ \sigma_{21}</math>, <math>\ \sigma_{23}</math>, <math>\ \sigma_{31}</math>, e <math>\ \sigma_{32}</math> sono tensioni tangenziali, spesso indicate con <math>\ \tau_{12}</math>, <math>\ \tau_{13}</math>, <math>\ \tau_{21}</math>, <math>\ \tau_{23}</math>, <math>\ \tau_{31}</math>, e <math>\ \tau_{32}</math>.
 
L'insieme delle nove componenti scalari <math>\left\{\sigma_{11},\sigma_{12},\ldots, \sigma_{33}\right\}</math> rappresentano le componenti della matrice di rappresentazione, nella base <math>\left\{ \bar 1_1,\bar 1_2,\bar 1_3\right\}</math>, di un [[tensore|tensore del secondo ordine]] <math>\mathbf{T}</math> detto ''tensore delle tensioni di Cauchy''. Di seguito sono riportate tutte le più comuni convenzioni tipografiche utilizzate per rappresentarne le componenti:
===Misurazione sperimentale===
La misurazione delle tensioni interne risulta problematica: infatti è impossibile operare realmente dei tagli per poi ''misurare'' sulla superficie di taglio il valore della tensione, in quanto l'operazione stessa di taglio altera in modo drammatico lo stato tensionale che si intenderebbe misurare. Quindi si affermare soltanto che la tensione ha valore strumentale, ovvero: "la definizione delle tensioni rappresenta una ipotesi ragionevole sulla natura del continuo e che la giustificazione di tale costrutto o modello mentale è da ricercarsi nel suo valore metodologico, cioè [...] dai proficui risultati ai quali si perviene col metodo su esso fondato" (Baldacci, 1984)
 
:<math>\ [{\bold T}]\equiv \left[{\begin{matrix} \mathbf{t}^{(\mathbf{e}_1)} \\
==Rappresentazioni==
\mathbf{t}^{(\mathbf{e}_2)} \\
{{cassetto
\mathbf{t}^{(\mathbf{e}_3)} \\
|titolo=''Notazioni e simbologia''
\end{matrix}}\right] =
|colore=#ABCDEF
|larghezza=300px
|allineamento=destra
|testo=
Operazioni su [[vettori]] e [[tensori]] o [[matrici]]:
*[[prodotto scalare]] tra vettori:
:<math>{\mathbf a}\, \cdot\,{\mathbf b}</math>
*[[matrice trasposta|tensore trasposto]] di un tensore:
:<math>\mathbf{A}^t</math>
*[[matrice inversa|tensore inverso]] di un tensore:
:<math>\mathbf{A}^{-1}</math>
*[[traccia (matrice)|traccia]] di un tensore:
:<math>\mathrm{tr}({\mathbf A})</math>
*[[determinante]] di un tensore:
:<math>\det({\mathbf A})</math>
}}
 
L'insieme delle nove componenti scalari <math>\left\{\sigma_{11},\sigma_{12},\ldots, \sigma_{33}\right\}</math> rappresentano le componenti della matrice di rappresentazione, nella base <math>\left\{ \bar 1_1,\bar 1_2,\bar 1_3\right\}</math>, di un [[tensore|tensore del secondo ordine]] <math>\bar \bar \sigma</math> detto ''tensore delle tensioni di Cauchy''. Di seguito sono riportate tutte le più comuni convenzioni tipografiche utilizzate nel caso tridimensionale per rappresentarne le componenti:
 
:<math>\ {\bar \bar \sigma}\equiv [\sigma] =
\left[{\begin{matrix}
\sigma _{11} & \sigma _{12} & \sigma _{13} \\
Line 131 ⟶ 113:
\tau _{zx} & \tau _{zy} & \sigma _z \\
\end{matrix}}\right]
\;\;,\;\;{\sigma}_{ij}=\left( {\barbold \bar \sigmaT}\,{\bold e}_i \right)\,\cdot\, {\bold e}_j
</math>
 
Il '''''Teorema di Cauchy''''' afferma che la conoscenza dello stato tensionale su tre distinte giaciture, cioè le nove componenti <math>\left\{\sigma_{11},\sigma_{12},\ldots, \sigma_{33}\right\}</math>, è sufficiente a determinare le tensioni su ogni altra giacitura passante per il punto.
====Stato piano di tensione====
Quando il valore di una delle tensioni principali è zero, sono nulle le componenti di tensioni nel relativo piano principale e si parla di stato ''tensioni piane''. Assunta <math>{\bold e}_3</math> come la relativa direzione principale, il vettore delle tensioni ha la seguente rappresentazione in una base di vettori ortonormali <math>\left\{\bar 1_1,\bar 1_2,\bar 1_3\right\}</math>
 
In termini più formali, il teorema di Cauchy afferma che esiste un tensore <math>{\bold T}</math>, detto ''tensore delle tensioni'', tale che vale la seguente rappresentazione lineare
: <math>\ {\bar \bar \sigma}\equiv
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & 0 \\
\sigma_{21} & \sigma_{22} & 0 \\
0 & 0 & 0\end{bmatrix}</math>.
 
:<math>\mathbf{t}^{(\mathbf{n})} \,={\bold T} \,{\bold n}
Uno stato di tensioni piane caratterizza tipicamente lo stato di sforzo di un corpo in cui una delle dimensioni è molto piccola rispetto alle rimanenti due (un [[guscio (struttura)|guscio]], ad esempio).
</math>
 
Il rispetto della seconda legge di Eulero (conservazione del momento della quantità di moto) porta a richiedere che il tensore delle tensioni di Cauchy sia un [[tensore simmetrico]]
===Parte sferica e deviatorica===
Come ogni tensore, il tensore delle tensioni di Cauchy <math>\bar \bar \sigma</math> può essere decomposto in una parte sferica e una parte deviatorica:
 
:<math>{\barmathbf \barT}^t \sigma= {\langlemathbf \sigmaT} \rangle ;\bar ;,\bar 1+ ;\Delta ;\bar \bar sigma_{ij}=\sigmasigma_{ji}
</math>
\;\;,\;\;
{\bar \bar \sigma}\equiv
\left[{\begin{matrix}
\bar{\sigma} & 0 & 0 \\
0 & \bar{\sigma} & 0 \\
0 & 0 & \bar{\sigma} \\
\end{matrix}}\right]
+\left[{\begin{matrix}
\sigma _{11}-\bar{\sigma} & \sigma _{12} & \sigma _{13} \\
\sigma _{21} & \sigma _{22}-\bar{\sigma} & \sigma _{23} \\
\sigma _{31} & \sigma _{32} & \sigma _{33}-\bar{\sigma} \\
\end{matrix}}\right]
</math>
 
Esso è quindi rappresentato da sole sei componenti scalari indipendenti.
dove lo [[scalare]] <math>\langle \sigma \rangle</math> è definito '''[[pressione]]''' generalizzata:
 
===Tensioni principali, direzioni principali ed invarianti dello stato tensionale===
:<math>\langle \sigma \rangle=\frac{1}{d}\mbox{tr}\bigl({\bar \bar \sigma}\bigr)</math>
La ''tensione principale'' in un punto è il valore della tensione su una giacitura rispetto alla quale lo stato tensionale presenta solo componenti normali e manca di componenti tangenziali. La direzione normale alla giacitura è detta ''direzione principale di tensione''.
 
Il problema delle tensioni principali consiste nel ricercare le giaciture rispetto alle quali lo stato tensionale ha solo componenti normali, cioè del tipo
che nel caso tridimensionale si esplicita in:
 
:<math>p=\frac{1\bold t}={3} (\sigma_{11bold T}+\sigma_,{22\bold n}+=\sigma_sigma_n \,{33\bold n})</math>
</math>
 
tale che risulti identicamente <math>\tau_{m}=0,\; \forall {\bold m}</math>.
e il suo prodotto per il [[tensore unitario]] nello spazio delle configurazioni <math>\langle \sigma \rangle \, \bar \bar 1 = \langle \bar \bar \sigma \rangle</math> è la '''tensione media'''. La parte deviatorica <math>\Delta \bar \bar \sigma = \bar \bar \tau</math>invece è detta [[sforzo di taglio|tensore di taglio]], o anche in [[fluidodinamica]] tensore viscoso, in quanto si costituisce con la [[legge di Newton]].
 
Dal punto di vista algebrico, il problema enunciato corrisponde ad un [[Autovettore e autovalore|problema agli autovalori]], cioè di ricerca degli autovettori <math>{\bold n}</math> ed autovalori <math>\lambda</math> del tensore <math>{\bold T}</math>.
===Cerchi di Mohr===
{{vedi anche|Cerchio di Mohr}}
Il ''cerchio di Mohr'' è una rappresentazione grafica di un tensore del secondo ordine, proposta nel [[1892]] da [[Christian Otto Mohr|Mohr]]. Essa è particolarmente significativa nel caso di stato piano di tensioni e permette la determinazione in modo semplice delle tensioni principali, delle tensioni tangenziali massime e dei piani principali di tensione in un punto del continuo.
 
Posto nella forma (<math>{\bold I}</math> è il tensore identità)
==Tensioni principali==
{{vedi anche|Teorema di Cauchy (meccanica del continuo)}}
 
:<math>({\bold T}-\lambda {\bold I})\,{\bold n}=0
[[Immagine:Continuo Cauchy.png|300px|right|thumb|Continuo tridimensionale di Cauchy]]
</math>
[[Immagine:Forze Cauchy2.png|300px|right|thumb|Tensioni interne nel continuo di Cauchy]]
[[Immagine:Tensore Cauchy.png|300px|right|thumb|Componenti del tensore delle tensioni di Cauchy]]
 
il problema è equivalente alla ricerca dello spazio nullo (il [[Nucleo (matematica)|kernel]]) dell'operatore <math>({\bold T}-\lambda \, {\bold I})</math>, definito dalla relativa condizione di singolarità (la ''[[polinomio caratteristico|equazione caratteristica]]'' dell'operatore <math>{\bold T}</math>)
La ''tensione principale'' in un punto è il valore della tensione su una giacitura rispetto alla quale lo stato tensionale presenta solo componenti normali e manca di componenti tangenziali. La direzione normale alla giacitura è detta ''direzione principale di tensione''.
 
:<math>\mbox{det}\left({\bold T}-\lambda \,{\bold I}\right)=\begin{vmatrix}
Consiste quindi in un autovettore del tensore delle tensioni:
\sigma_{11} - \lambda & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
\sigma_{21} & \sigma_{22} - \lambda & \sigma_{23} \\
\sigma_{31}& \sigma_{32} & \sigma_{33} - \lambda \\
\end{vmatrix}=0
</math>
 
Questa assume l'espressione di un'equazione algebrica di terzo grado
:<math>{\bar \sigma}= \sigma \, \hat n</math>.
 
:<math>-\lambda^3+ \lambda^2 I_1-\lambda I_2+I_3=0 \!
Il '''''Teorema di Cauchy''''' afferma che la conoscenza dello stato tensionale su tre distinte giaciture, cioè le nove componenti <math>\left\{\sigma_{11},\sigma_{12},\ldots, \sigma_{33}\right\}</math>, è sufficiente a determinare le tensioni su ogni altra giacitura passante per il punto.
</math>
 
ove i coefficienti <math>(I_1,I_2,I_3\!)</math> sono gli ''invarianti'' del tensore <math>{\bold T}</math> e sono definiti dalle
Il rispetto della seconda legge di Eulero (conservazione del momento della quantità di moto) porta a richiedere che il tensore delle tensioni di Cauchy sia un [[tensore simmetrico]]
 
:<math>\begin{align}
:<math>{\bar \bar \sigma}^t ={\bar \bar \sigma} \;\;,\;\;\sigma_{ij}=\sigma_{ji}
I_1&=\mbox{tr}\,{\bold T}=\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33} \\
I_2&=\frac{1}{2}\left((\mbox{tr}\,{\bold T})^2- \mbox{tr}\,({\bold T}^2) \right)= \sigma_{11}\sigma_{22}+\sigma_{22}\sigma_{33}+\sigma_{11}\sigma_{33}-\sigma_{12}^2-\sigma_{23}^2-\sigma_{13}^2\\
I_3&=\mbox{det}\,{\bold T}=\sigma_{11}\sigma_{22}\sigma_{33}+2\sigma_{12}\sigma_{23}\sigma_{31}-\sigma_{12}^2\sigma_{33}-\sigma_{23}^2\sigma_{11}-\sigma_{13}^2\sigma_{22}
\end{align}
</math>
 
Essendo il tensore <math>{\bold T}</math> simmetrico, un [[teorema spettrale|teorema dell'algebra]] assicura che l'equazione caratteristica ammetta tre radici reali <math>(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\!)</math> e, inoltre, che i tre autovettori associati <math>({\bold n}_1,{\bold n}_2,{\bold n}_3)</math> siano tra loro ortonormali:
Esso è quindi rappresentato da sole sei componenti scalari indipendenti.
 
:<math>{\mathbf n}_i\,\cdot\,{\bold n}_j=\delta_{ij}</math>
Per un corpo <math>{\mathcal B} </math> in una configurazione <math>{\boldsymbol \chi}({\mathcal B}) </math>, le tensioni interne sono un campo vettoriale <math>{\bar \sigma}(\cdot)</math> definito nella configurazione <math>{\boldsymbol \chi}({\mathcal B}) </math>. Lo ''stato tensionale'' in un punto è definito da tutte le tensioni <math>\bar \sigma_i = \sum_j \sigma_{ij}</math> associati con tutti i piani (di numero infinito) che passano per quel punto. In particolare, lo stato tensionale su tre piani paralleli ai piani coordinate sarà rappresentato dai tre vettori
 
dove con <math>\delta_{ij}</math> si indica il [[delta di Kronecker|simbolo di Kronecker]].
:<math>\ \bar \sigma_1= \sigma_{11} \bar 1_1 + \sigma_{12} \bar 1_2 + \sigma_{13} \bar 1_3 </math>
:<math>\ \bar \sigma_2= \sigma_{21} \bar 1_1 + \sigma_{22} \bar 1_2 + \sigma_{23} \bar 1_3 </math>
:<math>\ \bar \sigma_3= \sigma_{31} \bar 1_1 + \sigma_{32} \bar 1_2 + \sigma_{33} \bar 1_3 </math>
 
In conclusione, per ogni punto esistono tre giaciture tra loro ortogonali, chiamate '''''piani principali di tensione''''', con vettori normali <math>({\bold n}_1,{\bold n}_2,{\bold n}_3)</math> ('''''le direzioni principali di tensione'''''), rispetto alle quali il vettore tensione ha solo componenti normali <math>(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> ('''''le tensioni principali''''') e manca di componenti tangenziali. Si dimostra che le tensioni principali rappresentano i valori massimi (e minimi) attinti dallo stato tensionale in un punto al variare della giacitura passante per esso.
e quindi dalle nove componenti scalari <math>\left\{\sigma_{11},\sigma_{12},\ldots, \sigma_{33}\right\}</math>, di cui
:<math>\ \sigma_{11}</math>, <math>\ \sigma_{22}</math>, e :<math>\ \sigma_{33}</math> sono tensioni normali, e
:<math>\ \sigma_{12}</math>, <math>\ \sigma_{13}</math>, <math>\ \sigma_{21}</math>, <math>\ \sigma_{23}</math>, <math>\ \sigma_{31}</math>, e <math>\ \sigma_{32}</math> sono tensioni tangenziali, spesso indicate con <math>\ \tau_{12}</math>, <math>\ \tau_{13}</math>, <math>\ \tau_{21}</math>, <math>\ \tau_{23}</math>, <math>\ \tau_{31}</math>, e <math>\ \tau_{32}</math>.
 
La rappresentazione spettrale del tensore delle tensioni <math>{\bold T}</math>, cioè la rappresentazione del tensore in una base costituita dalle tre direzioni principali di tensione, è data dalla matrice diagonale
Le tensioni sono in generale funzione, oltre che della posizione <math>{\bar r}</math>, anche della forma della superficie di contatto <math>\partial {\boldsymbol \chi}({\mathcal P})</math>
 
:<math>
:<math>{\bar \sigma}={\bar \sigma} \left({\bar r}, \partial {\boldsymbol \chi}({\mathcal P}) \right)
[{\bold T}]\equiv\begin{bmatrix}
\sigma_{1} &0 &0 \\
0 &\sigma_{2} &0 \\
0 &0 &\sigma_{3} \\
\end{bmatrix}
</math>
 
Nella rappresentazione spettrali, gli invarianti dello stato tensionale attingono la seguente espressione:
In meccanica classica si ammette però la validità del ''postulato di Cauchy'', che definisce la dipendenza da <math> \partial {\boldsymbol \chi}({\mathcal P})</math> solo attraverso la normale <math>{\hat n}</math> alla superficie <math> \partial {\boldsymbol \chi}({\mathcal P})</math> passante per <math>{\bar r}</math>, cioè accettando la semplificazione:
 
:<math>\ \begin{align}
:<math>{\bar \sigma}={\bar \sigma} \left({\bar r}, {\hat n} \right)
I_1 &= \sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3} \\
I_2 &= \sigma_{1}\sigma_{2}+\sigma_{2}\sigma_{3}+\sigma_{3}\sigma_{1} \\
I_3 &= \sigma_{1}\sigma_{2}\sigma_{3} \\
\end{align}</math>
 
===Parte sferica e deviatorica del tensore delle tensioni===
Come ogni tensore, il tensore delle tensioni di Cauchy <math>\mathbf{T}</math> può essere decomposto in una parte sferica e una parte deviatorica
 
:<math>\mathbf{T}= \bar{\sigma} \,{\bold I}+\bold{T}^{dev}
\;\;,\;\;
[{\bold T}]\equiv
\left[{\begin{matrix}
\bar{\sigma} & 0 & 0 \\
0 & \bar{\sigma} & 0 \\
0 & 0 & \bar{\sigma} \\
\end{matrix}}\right]
+\left[{\begin{matrix}
\sigma _{11}-\bar{\sigma} & \sigma _{12} & \sigma _{13} \\
\sigma _{21} & \sigma _{22}-\bar{\sigma} & \sigma _{23} \\
\sigma _{31} & \sigma _{32} & \sigma _{33}-\bar{\sigma} \\
\end{matrix}}\right]
</math>
 
dove <math>\bar{\sigma}</math> è la tensione media
 
:<math>
\bar{\sigma}=\frac{1}{3}\mbox{tr}\bigl({\bold T}\bigr)=\frac{1}{3} (\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33})
</math>
 
La parte sferica <math>\bar{\sigma} \,{\bold I}</math> del tensore delle tensioni è rappresentativa di uno stato [[idrostatica|idrostatico]] di tensione.
In altri termini, sulla base del postulato di Cauchy, a superfici diverse passanti per il punto <math>{\bar r}</math>, caratterizzate localmente dall'avere la stessa normale, è associato lo stesso valore della tensione.
La tensione principale agente in un punto interno <math>{\bar r}</math> e sulla giacitura di normale <math>{\hat n}</math>, può essere rappresentato attraverso le [[Covarianza e controvarianza|componenti]] in una generica base di vettori ortonormali <math>\left\{\bar 1_1,\bar 1_2,\bar 1_3\right\}</math>
 
==Stato piano di tensione==
:<math>{\bar \sigma}=\sigma_1 \bar 1_1+\sigma_2\bar 1_2+\sigma_3 \bar 1_3</math>
 
Quando il valore di una delle tensioni principali è zero, sono nulle le componenti di tensioni nel relativo piano principale e si parla di stato ''tensioni piane''. Assunta <math>{\bold e}_3</math> come la relativa direzione principale, il vettore delle tensioni ha la seguente rappresentazione in una base di vettori ortonormali <math>\left\{\bar 1_1,\bar 1_2,\bar 1_3\right\}</math>
===Tensioni normali e tangenziali===
La tensione è non necessariamente ortogonale al piano su cui agisce. Interessante da un punto di vista tecnico è la decomposizione della tensione nella componente lungo la direzione normale <math>{\hat n}</math> alla giacitura e nella componente contenuta nel piano della giacitura:
 
: <math>{\bar \sigma}= \stigma_n [{\hatbold nT} + ]\tau_m {\hat m}</math>equiv
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & 0 \\
\sigma_{21} & \sigma_{22} & 0 \\
0 & 0 & 0\end{bmatrix}</math>.
 
Uno stato di tensioni piane caratterizza tipicamente lo stato di sforzo di un corpo in cui una delle dimensioni è molto piccola rispetto alle rimanenti due (un [[guscio (struttura)|guscio]], ad esempio).
*La ''tensione normale'' <math>\stigma_n</math> è la [[Covarianza e controvarianza|componente]] della tensione principale <math>{\bar \sigma}</math> lungo la direzione normale <math>{\hat n}</math>
 
===I cerchi di Mohr delle tensioni===
:<math>\stigma_n={\bar \sigma}\,\cdot\,{\hat n}
{{vedi anche|Cerchio di Mohr}}
</math>
Il ''cerchio di Mohr'' è una rappresentazione grafica dello stato tensionale in un punto, proposta nel [[1892]] da [[Christian Otto Mohr|Mohr]]. Essa è particolarmente significativa nel caso di stato piano di tensioni e permette la determinazione in modo semplice delle tensioni principali, delle tensioni tangenziali massime e dei piani principali di tensione.
 
==I tensori delle tensioni di Piola-Kirchhoff==
*La ''tensione tangenziale'' <math>\tau_{m}</math> è la [[Covarianza e controvarianza|componente]] della tensione principale <math>{\bar \sigma}</math> lungo una direzione <math>{\hat m}</math> contenuta nel piano di normale <math>{\hat n}</math>
{{vedi anche|sezione =s|[[Continuo di Cauchy#Equazioni del moto in forma lagrangiana e tensori nominali di tensione|Continuo di Cauchy e tensori nominali di tensione]]}}
La descrizione dello stato tensionale è espressa in modo naturale in forma euleriana con riferimento alla configurazione attuale e facendo uso del tensore di Cauchy. Nel caso di spostamenti e deformazioni finite, lo stato tensionale può anche essere espresso in una formulazione lagrangiana, cioè facendo riferimento alla configurazione di riferimento iniziale, mediante l'uso dei ''tensori nominali di tensione di [[Gabrio Piola|Piola]]-[[Gustav Kirchhoff|Kirchhoff]]'', il cui significato è prettamente matematico.
 
Nell'ipotesi di [[Deformazione#Teoria dei piccoli spostamenti|piccoli spostamenti e rotazioni]], i tensori nominali di tensione e il tensore di Cauchy coincidono: in tal caso è solito far uso del simbolo <math>{\boldsymbol \sigma}</math> per indicare il tensore delle tensioni.
:<math>\tau_{m}={\bar \sigma}\,\cdot\,{\hat m}
</math>
 
==Osservazione sul concetto di tensione==
==Note==
L'esistenza delle tensioni è affermata in maniera assiomatica. Problematica risulta la giustificazione di tale assunzione con argomentazioni di natura fisica, mediante una sua verifica con dati sperimentali: infatti, essendo relativa a punti interni del corpo, è impossibile operare realmente dei tagli per poi ''misurare'' sulla superficie di taglio il valore della tensione, in quanto l'operazione di taglio altererebbe in modo drammatico lo stato tensionale che si intenderebbe misurare. In conclusione si può affermare soltanto che "la definizione delle tensioni rappresenta una ipotesi ragionevole sulla natura del continuo e che la giustificazione di tale costrutto o modello mentale è da ricercarsi nel suo valore metodologico, cioè [...] dai proficui risultati ai quali si perviene col metodo su esso fondato" (Baldacci, 1984)
<references/>
 
==Bibliografia==
* {{en}} {{cita libro | cognome= Duderstadt| nome= James J.| titolo= Transport theory | editore= Wiley-Interscience Publications | città= New York| anno= 1979 | coautori= William R. Martin | ed= | id= ISBN 978-0471044925 | cid= DuMa|}}, cap. 4: The derivation of continuum description from trasport equations
* R. Baldacci, Scienza delle Costruzioni, vol I, Utet, Torino, 1984. ISBN 8802038376
 
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==Collegamenti esterni==
* [http://documents.wolfram.com/applications/structural/AnalysisofStress.html Stress analysis, Wolfram Research]
{{Portale|meccanica|ingegneria}}
 
[[Categoria:Meccanica del continuo]]
[[Categoria:Scienza delle costruzioni]]
[[Categoria:Analisi strutturale]]