Tensore metrico: differenze tra le versioni

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{{F|matematicageometria|agosto 2012}}
In [[matematica]], e più precisamente in [[geometria differenziale]], un '''tensore metrico''' è un [[campo tensoriale]] che caratterizza la geometria di una [[varietà (geometria)|varietà]]. Tramite il tensore metrico è possibile definire le nozioni di [[distanza (matematica)|distanza]], angolo, lunghezza di una curva, [[geodetica]], [[curvatura]].
 
== Definizioni ==
 
=== Segnatura ===
Poiché il determinante non si annulla mai, la [[segnatura (algebra lineare)|segnatura]] della matrice <math>g_{ij}(x)</math> è la stessa per ogni <math> x </math> se la varietà è [[spazio connesso|connessa]].
 
Se la segnatura è di tipo <math>(n,0)</math>, cioè se il prodotto scalare è ovunque [[prodotto scalare definito positivo|definito positivo]], il tensore induce una [[spazio metrico|metrica]] sulla varietà, che è quindi chiamata [[varietà riemanniana]]. Se il tensore non è definito positivo, la varietà è detta [[varietà pseudo-riemanniana|pseudo-riemanniana]].
 
Le varietà riemanniane sono le più studiate in [[geometria differenziale]]. Localmente, una varietà riemanniana è simile ad uno [[spazio euclideo]], benché possa essere globalmente molto differente. D'altro canto, lo [[spaziotempo]] nella [[relatività generale]] è descritto come una particolare varietà pseudoriemanniana, con segnatura <math>(1,3)</math>. Una tale varietà è localmente simile allo [[spaziotempo di Minkowski]].
=== Alzamento e abbassamento di indici ===
{{vedi anche|Innalzamento e abbassamento degli indici}}
Un tensore metrico, oltre ad introdurre concetti geometrici come lunghezze e angoli, permette di semplificare alcune notazioni e strutture. Tramite il tensore è possibile identificare gli [[spazio tangente|spazi tangente]] e [[spazio cotangente|cotangente]] di una varietà.
 
Più in generale, il tensore metrico può essere utilizzato per "abbassare" o "alzare" gli indici a piacimento in un tensore, trasformando ad esempio vettori in covettori e viceversa. Questo viene fatto [[contrazione di un tensore|contraendo]] opportunamente con i tensori <math> g_{ij} </math> e <math> g^{ij}</math>. Ad esempio, un vettore <math> A^\mu </math> viene trasformato in un covettore
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