Integrale di Gauss: differenze tra le versioni
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L''''integrale di Gauss''' è un [[integrale]] definito, calcolato per la prima volta da [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]]. È alla base della [[Variabile casuale normale|distribuzione normale]] (detta pure ''gaussiana''), mattone fondamentale della [[Probabilità|teoria della probabilità]]. La funzione integranda, normalizzata affinché l'area dell'integrale da -
La forma solitamente usata per l'integrale di Gauss è:
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e per una funzione a più variabili, dove A è una matrice ''n''
:<math>
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Il valore dell'integrale può essere ottenuto tramite un procedimento analitico semplice.
Sia '''I''' il valore di questo integrale nell'intervallo che va da 0 a +
:<math>I^2 = \int_{0}^\infty e^{-x^2}dx\, \int_{0}^\infty e^{-y^2}dy\, = \int_{0}^\infty\int_{0}^\infty e^{-(x^2+y^2)}dx dy~.</math>
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Si noti che si sono usati due simboli diversi, ''x'' e ''y'', per le due variabili di integrazione, in quanto ciascuna di esse è una variabile muta. Equivalentemente si può vedere la cosa come il prodotto di due funzioni simmetriche rispetto alla retta ''y=x''.
Tenendo a mente questa interpretazione, passando ora alle [[sistema di riferimento|coordinate polari]] del piano si ha ''dxdy''
:<math>I^2 = \int_0^{\frac \pi 2}d\theta\,\int_0^\infty {\rho e^{-\rho^2} d\rho} </math>
Il primo integrale è immediato, per il secondo basta sostituire ''u'' a ''
:<math>I^2 = \frac \pi 2 \int_0^\infty {\rho e^{-\rho^2} d\rho} = \frac \pi 4 \int_0^\infty {e^{-u}du} = \frac \pi 4 </math>
Dato che l'esponenziale è sempre positivo, anche '''I''' lo è, ed estraendo la radice quadrata otteniamo il risultato cercato.
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