Differenze tra le versioni di "Serie di potenze"

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Una serie di potenze
:<math> f(x)= \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n </math>
converge per alcuni valori della variabile <math> x </math> (almeno per <math> x </math> = <math> c </math>) e può divergere per altri. Esiste un numero ''R'' con 0 ≤ ''R'' ≤ ∞ tale che la serie converge quando |''x'' &minus; ''c''| < ''R'' e diverge quando |''x'' &minus; ''c''| > ''R''. Questo numero ''R'' è chiamato [[raggio di convergenza]] della serie di potenze e per ogni serie è dato dalla [[Teorema di Cauchy-Hadamard|formula di Cauchy-Hadamard]] per il raggio di convergenza:
 
:<math>R=\liminf_{n\to\infty} \frac 1{\sqrt[n]{|a_n|}};</math>
Questa formula è però applicabile solo se il limite al secondo membro esiste.
 
La serie [[serie#Convergenza assoluta di una serie|converge assolutamente]] per |''x'' - ''c''| < ''R'' e [[convergenza totale|converge totalmente]] (e quindi anche [[convergenza uniforme|uniformemente]]) su ogni sottoinsieme [[compatto]] del disco {''x'' :| ''x'' &minus; ''c''| < ''R''}.
 
Per |''x'' - ''c''| = ''R'' non si dispone di alcun enunciato generale sulla convergenza o meno della serie. Si ha però il [[teorema di Abel]] che afferma che la somma della serie è continua in un punto ''x'' se in esso la serie è convergente.
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