Funzione di densità di probabilità: differenze tra le versioni
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==Definizione==
La funzione densità di probabilità di una [[variabile casuale]] <math>X</math> è
:<math>P(X \in A)=\int_A p_X(x)\,\operatorname{d}x</math>
per tutti i sottinsiemi ''A'' dello [[spazio campionario]].
per tutti i sottinsiemi ''A'' dello [[spazio campionario]]. Questo implica che l'integrale su tutto lo spazio di <math>p_X(x)</math> deve essere 1. Di conseguenza ogni funzione non negativa, integrabile secondo Lebesgue, con integrale su tutto lo spazio uguale a 1, è la funzione densità di probabilità di una ben definita distribuzione di probabilità. Una variabile casuale che possiede densità si dice "[[variabile casuale continua]]".▼
Intuitivamente, se una distribuzione di probabilità ha densità <math>p_X(x)</math>, allora l'[[intervallo (matematica)|intervallo]] <math>[x,x+\operatorname{d}x]</math> ha probabilità <math>p_X(x)\,\operatorname{d}x</math>. Da ciò deriva che la funzione <math>p_X(x)</math> è un'applicazione definita come▼
:<math>p_X(\bar{x}): \bar{x} \to \lim_{dx \to 0} \frac{P(x<\bar{x}<x+dx)}{dx}</math>
Assumendo <math>x \equiv \bar{x}</math>, ciò corrisponde al limite della probabilità che <math>\bar{x}</math> si trovi nell'intervallo <math>[x,x+\operatorname{d}x]</math> per <math>dx</math> che tende a zero. Di qui il nome di funzione di 'densità', in quanto essa rappresenta il rapporto tra una probabilità e un'ampiezza.
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▲Intuitivamente, se una distribuzione di probabilità ha densità <math>p_X(x)</math>, allora l'[[intervallo (matematica)|intervallo]] <math>[x,x+\operatorname{d}x]</math> ha probabilità <math>p_X(x)\,\operatorname{d}x</math>.
Per le variabili casuali multivariate (o vettoriali) la trattazione formale è assolutamente identica: <math>(X_1,\ldots,X_n)</math> si dice assolutamente continua se esiste una funzione a valori reali definita in <math>\R^n</math>, detta '''densità congiunta''', tale che per ogni sottoinsieme ''A'' dello spazio campionario
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